8.4.2 提公因式法 导学案 （含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.2提公因式法
【素养目标】
1.会确定构成多项式的各个单项式的公因式.
2.能熟练运用提公因式法分解因式.
【重点】
提公因式法.
【自主预习】
1.单项式6a3b与9a2b3的公因式是什么
2.你能把多项式x2+2x分解因式吗
1.多项式2mx-10nx2的公因式是 ( )
A.2 B.x C.2x D.2mn
2.把多项式m2-m分解因式,结果正确的是( )
A.m(m+1) B.m(m-1)
C.-m(m-1) D.(m+1)(m-1)
【参考答案】
预学思考
1.单项式6a3b与9a2b3的公因式是3a2b.
2.x2+2x=x(x+2).
自学检测
1.C　2.B
【合作探究】
公因式的概念
阅读课本本课时“1.提公因式法”至“例1”前的内容,思考下列问题.
1.观察:单项式a2b,-b,ab有公因式 ,那么对于多项式a2b-b+ab,逆用乘法分配律,可以化为b·( ).
2.多项式15a3b3+5a2b-120a3b3的公因式是 ( )
A.5ab B.5a2b2
C.5a2b D.120a3b3
在多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式 , 叫作各项的公因式.
1.多项式3m2+6mn的公因式是 ( )
A.3 B.m C.3m D.3n
2.8x3y2和12x4y的公因式是 .
提公因式法
阅读课本本课时“例1”和“例2”,思考下列问题.
1.观察:(1)课本“例1(1)”,单项式4m2与-8mn系数的最大公因数是 ,含相同的字母 ,指数最小的是 ,因此,提出公因式 .
(2)课本“例2(1)”,该多项式的各项2x(b+c)与-3y(b+c)并不是单项式,但是含有公因式 ,我们也可以将该多项式提取公因式.
(3)课本“例2(2)”,该多项式的各项3n(x-2)与2-x虽然没有公因式,但是x-2与 可以转化为公因式,我们也可以将该多项式提取公因式.
2.把多项式提取公因式分解因式之后,括号内剩余的部分如何确定
3.分解因式:
(1)8a3b2-12ab3c;
(2)3x3-6xy+x;
(3)-4a3+16a2-18a;
(4)6(x-2)+x(2-x).
如果把多项式ma+mb+mc中的公因式m提到括号外面,那么ma+mb+mc就分解成两个因式的积 ,即ma+mb+mc= ,这种因式分解的方法叫作提公因式法.
4.讨论:怎样确定多项式中每一个单项式的公因式
【学法指导】提公因式法的关键在于如何确定构成多项式的各项(可能是单项式,也可能是多项式)所含有的公因式,它可以看作是乘法分配律的逆应用.
1.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )
A.x2-y B.x2+2xy
C.x2+y2 D.x2-xy+y2
2.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是 ( )
A.a2b B.-4a2b2 C.4a2b D.-a2b
3.已知ab=-2,a+b=3,则a2b+ab2的值是 ( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
4.因式分解:xy-y2= .
提公因式法分解因式的应用
例1　用简便方法计算:
(1)1011-5×1010;
(2)7.6×201.5+4.3×201.5-1.9×201.5.
变式训练　已知电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R2=18.5,R3=18.6,I=2时,利用因式分解求出U的值.
例2　已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.
变式训练　已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.b　a2-1+a　2.C
揭示概念　m　m
对点训练
1.C　2.4x3y
知识点二
1.4　m　1　4m　b+c　2-x
2.括号内各项等于原多项式除以公因式的商.
3.解:(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc).
(2)3x3-6xy+x=x·3x2-x·6y+x·1=x·(3x2-6y+1).
(3)-4a3+16a2-18a=-(4a3-16a2+18a)=-2a(2a2-8a+9).
(4)6(x-2)+x(2-x)=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x).
揭示概念
m(a+b+c)　m(a+b+c)
4.公因式的系数应取各项系数的最大公因数;字母取各项相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.
对点训练
1.B　2.C　3.B　4.y(x-y)
题型精讲
例1
解:(1)原式=1010×(10-5)=5×1010.
(2)原式=201.5×(7.6+4.3-1.9)=201.5×10=2 015.
变式训练
解:U=I·(R1+R2+R3)=2×(12.9+18.5+18.6)=2×50=100,
所以U的值为100.
例2
解:2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3·(2x-y),当2x-y=,xy=2时,
原式=23×=.
变式训练
解:由于-12x2-21x=-3(4x2+7x),而由已知得4x2+7x=2,
所以原式=-3×2=-6.
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