8.4.3 第1课时 完全平方公式、平方差公式分解因式 导学案 （含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.3第1课时 完全平方公式、平方差公式分解因式
【素养目标】
1.能逆用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.
2.理解并掌握公式法分解因式的特征和条件.
3.灵活应用公式法分解因式.
【重点】
用乘法公式进行因式分解.
【自主预习】
下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有 ( )
(1)x2-4y2 ;(2)9a2b2-3ab+1;(3)-x2-2xy-y2;(4)x2+y2.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
下列分解因式不正确的是 ( )
A.4a2-4a+1=4a(a-1)+1
B.a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
C.4a2-12a+9=(2a-3)2
D.2ab-a2-b2=-(a-b)2
【参考答案】
预学思考
B
自学检测
A
【合作探究】
公式法
阅读课本本课时“例3”及之前的内容,思考下列问题.
1.旧知回顾:乘法公式包括完全平方公式与平方差公式, =a2+2ab+b2; =a2-2ab+b2; =a2-b2.
运用 (完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作 法.
2.讨论:满足什么条件的多项式可以用公式法进行因式分解
·方法归纳·
判断是否可用平方差公式应注意:(1)必须是 式;(2)这两项都必须是 ;(3)这两项的符号 .
把下列各式分解因式:
(1)4a2-1;
(2)(x+y)2-4(x+y)+4.
公式法分解因式的应用
例1　分解因式:4x2+4x+1.
变式训练　分解因式:(x+2)(x+4)+1.
·方法归纳·
当需要分解因式的多项式中出现两个多项式相乘的式子时,应先将多项式的乘法利用多项式乘以多项式的法则展开,再利用公式法分解因式.
例2　 先阅读下列材料,再解答下列问题:
分解因式:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,设x+y=m,则原式=m2+2m+1=(m+1)2.
再将x+y=m代入,原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你完成下列各题:
(1)分解因式:1-2(x-y)+(x-y)2.
(2)分解因式:(y2-6y)(y2-6y+18)+81.
变式训练　阅读下列材料:
小冉同学在对多项式(x2-6x+3)(x2-6x+15)+36分解因式的过程中发现,如果把x2-6x看成一个整体,用一个新的字母代替,那么此多项式就可以运用公式法进行因式分解.以下是她的做法.
解:设x2-6x=y,
则原式=(y+3)(y+15)+36
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2-6x+9)2.
(1)小冉同学进行因式分解时,所得到的最后结果是否分解彻底 　　　　(填“是”或“不是”).
如果不是,直接写出分解因式的结果: .
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
【参考答案】
知识生成
1.(a+b)2　(a-b)2　(a+b)(a-b)
揭示概念
公式　公式
2.能用完全平方公式进行因式分解的多项式必须是二次三项式,其中两项的符号相同,并且这两项可以化为两个数(或整式)的平方的形式,另一项是这两个数(或整式)乘积的2倍,符号可正可负.能用平方差公式分解的多项式必须是两项式,每一项都可以化成平方的形式,并且符号相反.
方法归纳
(1)二项　(2)完全平方　(3)相反
对点训练
解:(1)原式=(2a+1)(2a-1).
(2)原式=(x+y)2-4(x+y)+22=(x+y-2)2.
题型精讲
例1
解:原式=(2x)2+2×2x+12=(2x+1)2
变式训练
解:原式=x2+6x+9=(x+3)2.
例2
解:(1)设x-y=m,
则原式=1-2m+m2=(1-m)2,
把x-y=m代入,
原式=[1-(x-y)]2=(1-x+y)2.
(2)设y2-6y=m,
则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2,
把y2-6y=m代入,
原式=(y2-6y+9)2=[(y-3)2]2=(y-3)4.
变式训练
解:(1)不是;(x-3)4.
提示:设x2-6x=y,
原式=(y+3)(y+15)+36=y2+18y+81=(y+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4,
所以小冉同学进行因式分解时,所得到的最后结果没有分解彻底.
(2)设x2-2x=y,
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.
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