8.4.3 第2课时 综合利用提公因式法和公式法分解因式 导学案（含答案） 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.3第2课时 综合利用提公因式法和公式法分解因式
【素养目标】
能综合运用提公因式法和乘法公式法进行因式分解.
【重点】
用提公因式法和乘法公式法分解因式.
【自主预习】
1.多项式x-x3分解因式的结果为 ( )
A.x(1-x2) B.x(1-x)2
C.x(1+x)(1-x) D.-x(x-1)2
2.分解因式:x3+6x2+9x= .
1.把多项式ax3-2ax2+ax分解因式,结果正确的是 ( )
A.ax(x2-2x) B.ax2(x-2)
C.ax(x+1)(x-1) D.ax(x-1)2
2.分解因式:8x3y-18xy= .
【参考答案】
预学思考
1.C　2.x(x+3)2
自学检测
1.D　2.2xy(2x+3)(2x-3)
【合作探究】
提公因式法和公式法分解因式
阅读课本本课时“例4”“例5”的内容,思考下列问题.
把下列各式分解因式:
(1)(x2-3)2+2(3-x2)+1;
(2)4xy2-4x2y-y3;
(3)2x5-8x3.
·方法归纳·
一个多项式分解因式的一般步骤:一提二用三查,即先考虑提公因式,再考虑能否用公式,最后检查每个因式是否还能继续分解.
1.多项式3ax2-3ay2分解因式的结果为 ( )
A.3a(x2-y2) B.3a(x+y)(x-y)
C.3a(x-y)2 D.3a(x+y)2
2.分解因式:(x2+1)2-4x2.
3.计算:29×20.25+72×20.25+13×20.25-14×20.25.
提公因式法和公式法的综合应用
例　利用因式分解计算:已知x+y=3,x-y=-2,求(x2+y2)2-4x2y2的值.
变式训练　
1.如图,长方形的长为a、宽为b(a>b),长方形的两边长之差为6,面积为16,求下列各式的值:
(1)a2b-ab2;
(2)3a3b-6a2b2+3ab3.
2.由整式乘法可知(a+b)(a-b)=a2-b2,由等式的性质可得a2-b2=(a+b)(a-b),我们把这种由一个多项式分解成几个整式乘积形式的变形过程称作因式分解.如果一个正整数m能写成m=a2-b2(a,b均为正整数,且a≠b),我们称这个数m为“平方差数”.例如:8=8×1=4×2,由8=a2-b2=(a+b)·(a-b),可得 或根据等式性质把上、下两式相加可得2a=9或2a=6,因为a,b均为正整数,所以2a为偶数,则2a=9应舍去,从而解得所以8是“平方差数”.
(1)请把整式x2-4y2和(2m+n)2-m2进行因式分解.
(2)如果一个三位数,它的百位上的数字为1,个位上的数字比十位上的数字大3,且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”,求出所有符合条件的三位数.
【参考答案】
知识生成
解:(1)原式=(x2-3-1)2
=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(2)原式=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)2.
(3)原式=2x3(x2-4)=2x3(x+2)(x-2).
对点训练
1.B
2.解:原式=(x2+1+2x)(x2+1-2x)=(x+1)2·(x-1)2.
3.解:原式=20.25×(29+72+13-14)=2 025.
题型精讲
例
解:原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
将x+y=3,x-y=-2代入,得(x+y)2(x-y)2=32×(-2)2=9×4=36.
变式训练
1.解:(1)根据题意得a-b=6,ab=16,
所以a2b-ab2=ab(a-b)=16×6=96.
(2)根据题意得a-b=6,ab=16,
所以3a3b-6a2b2+3ab3=3ab(a2-2ab+b2)=3ab·(a-b)2=3×16×62=1 728.
2.解:(1)x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y),
(2m+n)2-m2=(2m+n+m)(2m+n-m)=(3m+n)(m+n).
(2)设该三位数十位上的数字为x,则其各个数位上的数字之和为1+x+(x+3)=2x+4=2(x+2).由2(x+2)=a2-b2=(a+b)(a-b),可得 或上、下两式相加可得2a=x+4,∴x是偶数.
当x=0时,x+3=3,∴该三位数是103;
当x=2时,x+3=5,∴该三位数是125;
当x=4时,x+3=7,∴该三位数是147;
当x=6时,x+3=9,∴该三位数是169,
∴所有符合条件的三位数为103,125,147或169.
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