8.4.3 第3课时 分组分解法分解因式 导学案 （含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.3第3课时 分组分解法分解因式
【素养目标】
能运用分组分解法、十字相乘法进行因式分解.
【重点】
用分组分解法分解因式.
【自主预习】
1.用分组分解法分解多项式x2-y2+2y-1时,下列分组方法正确的是 ( )
A.(x2-1)-(y2-2y)
B.(x2-y2)+(2y-1)
C.x2-(y2-2y+1)
D.(x2+2y)-(y2+1)
2.因式分解:am+an-bm-bn=　　　　.
1.x2-1+2xy+y2分解因式的结果是 ( )
A.(x+1)(x-1)+y(2x+y)
B.(x+y+1)(x-y-1)
C.(x-y+1)(x-y-1)
D.(x+y+1)(x+y-1)
2.分解因式:x3+x2-x-1=　　　　.
【参考答案】
预学思考
1.C
2.(m+n)(a-b)
自学检测
1.D　2.(x-1)(x+1)2
【合作探究】
分组分解法
阅读课本本课时“例6”的内容,思考下列问题.
1.讨论:(1)对于“例6(1)”, 在x2-y2+ax+ay中前两项可用 分解因式,其中一个因式是 ,后两项提取公因式a后,另一个因式也是 ,再利用提公因式法即可.
(2)在“例6(2)”中,对于多项式a2+2ab+b2-c2,前三项可用 分解因式,之后可以用 公式分解因式.
2.思考:观察一个多项式,如何决定其要不要分组分解
分组的目的是将多项式分为 可以用提公因式法或 分解因式的形式.
·方法归纳·
分组分解法其实是通过对多项式进行适当的 ,把多项式转化为可以应用基本法分解的结构形式,使之具有 或者符合 的因式.
1.分解因式:a3+a2b-ab2-b3= ( )
A.(a-b)2(a+b)
B.(a+b)2(a-b)
C.ab(a+b)2
D.ab(a-b)2
2.分解因式:m2n-9n+3-m= .
拆分后利用分组分解法分解因式
阅读课本本课时“探究”的内容,思考下列问题.
分解因式:x2-6x+5.
·方法归纳·
当涉及二次三项式的因式分解时,若不能利用提公因式或利用完全平方公式分解,则通常将某一项拆分成两项,再进行分组,使分组后呈现出有公因式或能用公式法分解因式的形式,进而进行分解因式.由于拆分的方法不同,因此一般有多种分解因式的方法.
1.把多项式a2-5a-6分解因式,其结果是 ( )
A.(a-2)(a+3) B.(a-6)(a+1)
C.(a+6)(a-1) D.(a+2)(a-3)
2.分解因式a2+a-6的结果是 .
3.分解因式:x2-3x-4.
因式分解的应用
例　试说明不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
变式训练　当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值 请求出这个最小值.
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.(1)平方差公式　(x+y)　(x+y)
(2)完全平方公式　平方差
2.先观察是否能提取公因式,再看是否能用公式法分解因式;若前两者都不能直接进行,再考虑是否能通过分组之后,将各项分别提取公因式或用公式法.
归纳总结　各项　公式法
方法归纳
分组　公因式　公式特点
对点训练
1.B　2.(m-3)(mn+3n-1)
知识点二
方法一:x2-6x+5=(x2-6x+9)-4=(x-3)2-22=(x-3+2)(x-3-2)=(x-1)(x-5).
方法二:x2-6x+5=(x2-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).
方法三:x2-6x+5=(x2-5x)+(-x+5)=x(x-5)-(x-5)=(x-1)(x-5).
方法四:x2-6x+5=(x2-1)+(-6x+6)=(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x+1-6)=(x-1)·(x-5).
方法五:x2-6x+5=x2+(-1-5)x+(-1)×(-5)=(x-1)(x-5).
对点训练
1.B　2.(a-2)(a+3)
3.方法一:x2-3x-4=(x2-4x)+(x-4)=x(x-4)+(x-4)=(x-4)(x+1).
方法二:x2-3x-4=(x2+x)+(-4x-4)=x(x+1)-4(x+1)=(x-4)(x+1).
方法三:x2-3x-4=(x2-1)+(-3x-3)=(x+1)(x-1)-3(x+1)=(x+1)(x-1-3)=(x-4)·(x+1).
方法四:x2-3x-4=(x2-16)+(-3x+12)=(x+4)(x-4)-3(x-4)=(x-4)(x+4-3)=(x-4)(x+1).
题型精讲
例
解:因为a2b2-4ab+5=(a2b2-4ab+4)+1=(ab-2)2+1,由于不论a,b为何值,都有(ab-2)2≥0,所以(ab-2)2+1>0.因此不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
变式训练
解:原式=a2-4a+4+b2+6b+9+5=(a-2)2+(b+3)2+5,
故当a=2,b=-3时,a2+b2-4a+6b+18有最小值5.
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