沪科版（2024）七年级数学下册9.3 第1课时 分式方程的概念及解法 课件 (共29张PPT)

(共29张PPT)
9.3 分式方程
第一课时 分式方程的概念及解法
学习目标及重难点
1.理解分式方程的概念；
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）
3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
一.什么是整式？下列是整式的（ ）
二.什么是方程？
含有未知数的等式，叫做方程.
三.我们学习过什么方程？
复习回顾
一元一次方程
二元一次方程
整式方程
问题 兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1 776 km.若某直快列车改为高铁列车后,速度提高48%,运行时间缩短约6 h,求直快列车的速度.
探索1：分式方程的概念
设直快列车的速度为 km/h，
则直快列车运行时间为 h,
高铁列车运行时间为 h,
问题 兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1 776 km.若某直快列车改为高铁列车后,速度提高48%,运行时间缩短约6 h,求直快列车的速度.
设直快列车的速度为 km/h，
则直快列车运行时间为 h,
高铁列车运行时间为 h,
可以得到方程.
即 .
议一仪：
由上面的问题，我们得到了下列方程：
.
即 .
这个方程和我们以往学过有什么区别
分母中含有未知数.
分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
归纳总结
思考：分式方程与整式方程有什么区别？
区别分式方程和整式方程：看分母是否含有未知数
下列方程中:
分式方程有_________个.
3
判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
随堂小练习
思考：如何解分式方程 ？
探索2：分式方程的解法
分式方程
整式方程
转化
（2）怎样去分母？
（3）这样做的依据是什么？
（1）如何把它转化为整式方程？
解：方程两边同乘以得
解这个整式方程，得 .
把代入上述分式方程检验：
左边右边.
所以是该分式方程的解.
因而，直快列车的速度为km/h.
思考：如何解分式方程 ？
分式方程的解法
一般地，解分式方程时，通常在方程两边同乘以一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程.
归纳总结
探索3：分式方程的增根
探究：
解方程 ，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
解：去分母，得 .
去括号、移项，得
解得
把代入原方程检验时，原方程中分式的分母为零，分式没有意义，
所以不是原方程的根，原方程无解.
探究：
解方程
解：去分母，得 .
去括号、移项，得
解得
去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了.
是原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，但不是原方程的根.像这样的根，称为增根.
为什么会产生增根
(取不等于3的全体实数)
(取全体实数)
探究：
解方程
解：去分母，得 .
去括号、移项，得
解得
是原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，但不是原方程的根.像这样的根，称为增根.
增根需满足的条件:
①去分母后整式方程的根；
②使最简公分母的值为零.
探究：
解方程 ，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
解：去分母，得 .
去括号、移项，得
解得
检验方法：
解分式方程时，通常在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须验根.
探究：
解方程 ，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
解：去分母，得 .
去括号、移项，得
解得
检验：当时，最简公分母
所以是增根，原方程无解.
例1 ： 解方程：
解:方程两边同乘以最简公分母，得
展开，得
解方程，得.
检验：当时，.
所以，原方程的根是.
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
检验
是分式
方程的解
不是分式
方程的解
时
最简公分母是
否为零？
否
是
简记为：
“一化二解三检验”
交流：由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？把你的结论与同学们交流.
解：方程两边都乘，得
解这个方程，得
检验：当时，
是原方程的增根
所以，原方程无解.
解方程
随堂小练习
例2：关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是________________．
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
a＜－1且a≠－2
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，
∵关于x的方程=1的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴－a－1＞0且 －a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
3
=
解：方程两边同乘以最简公分母 ，得
所以
又因为增根一定是整式方程的解.
例3：若关于的方程 ,有增根，求的值.
+
所以将代入得，
4
因为方程有增根，
解得 或
将代入得，
所以当或时，原方程有增根.
所以 ,
1. 下列方程中，不是分式方程的是（　C　）
A. ＝3 B. ＝
C. ＝2 D. ＝
C
习题1
2.若关于的方程 = 有增根，则的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
习题2
3.若分式方程 ＝ 的解为，则的值为 .
　
习题3
4.解方程：（1） ＝1 ；（2） ＝1.
解：（1）方程两边同乘以，得 ，
解得 .
检验：当时，
所以是原分式方程的解.
习题4
解：（2）方程两边同乘以，
得 ，
解得 .
检验：当时，
所以是增根，应舍去.
所以原分式方程无解.
4.解方程：（1） ＝1 ；（2） ＝1.
习题4
拓展提升
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
解析：
先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解,一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
分式
方程的概念及解法
步骤
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
（去分母法）
注意
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验