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素养提升课(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
第一章 安培力与洛伦兹力
学习任务
1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。
2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。
3．能利用几何知识求解圆周运动的半径。
4．会分析有界磁场中的临界、极值问题。
探究重构·关键能力达成
探究1 带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点
1．直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示)
2．平行边界(存在临界条件，如图所示)
3．(1)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，
如图所示)
[思路点拨] (1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。
(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
规律方法 (1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。
(2)解题过程中注意对称性的应用。
[针对训练]
1．在电视机的显像管中，电子束经电压为U的电场加速后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。已知电子的质量为m、电荷量大小为e，若使电子束偏转角度为θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
探究2 带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度大小的变化引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。
【典例2】 如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB长为2l，AD长为l。从AD的中点E以不同速率发射粒子，速度方向与AD成30°角；粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用。求：
(1)从AB边离开磁场的粒子，出射点离
A点的最远距离；
(2)要使粒子全部从AB边离开磁场，发
射速率应满足的条件。
规律方法 (1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
√
探究3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
类型 分析 图例
带电
粒子
电性
不确
定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
类型 分析 图例
磁场
方向
不确
定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑因磁感应强度方向不确定而形成的多解问题。如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
类型 分析 图例
临界
状态
不唯
一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子的运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期
性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
√
√
[针对训练]
3．如图甲所示，M、N为竖直放置的彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔且O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向)。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计
离子所受重力及离子间的相互作用力。
求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
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素养提升练(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
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3．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场方向飞入正方形区域的匀强磁场中，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
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C [比较2、5轨迹可知A错误；比较3、4、5轨迹可知B错误；电子在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，它们的速率不同，故C正确，D错误。]
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由粒子运动轨迹图可知θa＝90°，θb＝60°，θc＝30°，三个粒子在磁场中运动的时间之比为ta∶tb∶tc＝3∶2∶1，故D错误。故选AB。]
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5．(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反，电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子才可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
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BD [带电粒子从P点沿圆筒的半径进入磁场区域，若以O1为圆心做圆周运动，在A点与筒壁发生碰撞，则运动轨迹如图所示，由几何关系可知∠OAO1＝90°，所以粒子一定会沿圆筒的半径方向离开磁场，与筒壁碰撞后依然沿圆筒的半径方向，所以粒子不可能通过圆心O，且每次碰撞后瞬间，粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，故A错误，D正确；由对称性可知，粒子至少需要碰撞2次才能从P点离开，如图所示，B正确；设粒子在磁场中运动的
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二、非选择题
11．如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从ab边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pb成60°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
(1)若带电粒子垂直于ad边射出磁场，求该粒子的运动时间；
(2)求ab边界有粒子离开磁场的区域长度；
(3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，
求该粒子的速度大小。
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12．真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ＝30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。
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1素养提升练(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
一、选择题
1．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子所带电荷的正、负可能是( )
A．，正电荷 B．，正电荷
C．，负电荷 D．，负电荷
2．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为( )
A． B．
C． D．
3．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场方向飞入正方形区域的匀强磁场中，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
4．(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中∠AOa＝90°，∠AOb＝120°，∠AOc＝150°。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
A．三个粒子都带正电
B．b粒子的速率是a粒子速率的倍
C．a粒子在磁场中的运动时间最短
D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3∶4∶5
5．(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反，电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子才可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
6．如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为l，∠C＝30°，比荷均为的带正电粒子以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场(不计粒子重力)，则( )
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越大
C．粒子在磁场中运动的最长路程为πl
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
7．(多选)如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，两磁场右边界均足够宽。一带负电的粒子质量为m、电荷量为q(不计粒子重力)，从原点O与x轴成 30°角斜向上射入磁场，且在x轴上方磁场中的运动半径为R，下列说法正确的是( )
A．粒子经偏转一定能回到原点O
B．粒子完成一次周期性运动的时间为
C．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为 2∶1
D．粒子从原点出发后到第二次穿过x轴时，沿x轴前进3R
8．(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力及离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>，垂直纸面向里
B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外
D．B>，垂直纸面向外
9．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为l的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则以下说法正确的是( )
A．质子的速度可能为Bkl
B．质子的速度可能为Bkl
C．质子由A到C的时间可能为
D．质子由A到C的时间可能为
10．如图所示，在竖直面内按虚线分割为两个区域，区域上部分有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，虚线ab部分是一个半圆，半径为R，ca部分是水平直线，长度为R。bd部分为与ca等高的水平直线，长度也为R。一群质量为m、电荷量为＋q的粒子从c点以不同的速率竖直向上射入磁场，其中在磁场中运动时间最长粒子的速度是(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)( )
A．v＝ B．v＝
C．v＝ D．v＝
二、非选择题
11．如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从ab边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pb成60°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
(1)若带电粒子垂直于ad边射出磁场，求该粒子的运动时间；
(2)求ab边界有粒子离开磁场的区域长度；
(3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，求该粒子的速度大小。
12．真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ＝30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。素养提升练(二)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BC B C AB BD C BD BD C B
1．BC [如图所示，若粒子带正电，则a＝r(1－sin 30°)＝，则B＝，B正确；若粒子带负电，则a＝r(1＋sin 30°)＝，则B＝，C正确。]
2．B [以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图，由几何关系知轨迹圆半径r＝，由半径r＝解得B＝，B正确。]
3．C [比较2、5轨迹可知A错误；比较3、4、5轨迹可知B错误；电子在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，它们的速率不同，故C正确，D错误。]
4．AB [带电粒子在磁场中向上偏转，根据左手定则可知三个粒子都带正电，故A正确；设磁场半径为R，由几何关系可知ra＝R tan 45°＝R，rb＝R tan 60°＝ra，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，可得vb＝va，故B正确；三个粒子在磁场中的运动周期为T＝，
运动时间为t＝T，由粒子运动轨迹图可知θa>θb>θc，故a粒子在磁场中的运动时间最长，故C错误；由粒子运动轨迹图可知θa＝90°，θb＝60°，
θc＝30°，三个粒子在磁场中运动的时间之比为ta∶tb∶tc＝3∶2∶1，故D错误。故选AB。]
5．BD [
带电粒子从P点沿圆筒的半径进入磁场区域，若以O1为圆心做圆周运动，在A点与筒壁发生碰撞，则运动轨迹如图所示，由几何关系可知∠OAO1＝90°，所以粒子一定会沿圆筒的半径方向离开磁场，与筒壁碰撞后依然沿圆筒的半径方向，所以粒子不可能通过圆心O，且每次碰撞后瞬间，粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，故A错误，D正确；由对称性可知，粒子至少需要碰撞2次才能从P点离开，如图所示，B正确；设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，圆筒的半径为R，粒子在磁场中做圆周运动，有qvB＝m，设∠POA＝α，由几何关系有，若粒子恰好运动一周从P点离开，则粒子在磁场中运动的时间t＝，则粒子的速度越大，α越大，粒子在磁场中运动的时间越短；若粒子运动一周不能从P点离开，则运动时间无法确定，故C错误。]
6．C [粒子在磁场中做匀速圆周运动，随速度增加，半径变大，当粒子运动轨迹恰好与BC边相切时，粒子运动轨迹如图所示，当粒子从AC边射出时，即使粒子速度改变，运动时间也不变，当粒子的轨迹与BC边相切时，粒子速度再增加，则粒子从BC边射出，则随速度增加，在磁场中运动的路程变小，选项A、B错误；当粒子的轨迹与BC边相切时，由几何知识得，粒子轨道半径r＝AB＝l，
此时粒子在磁场中运动的路程最长，为s＝×2πl＝πl，选项C正确；当粒子从BC边射出时，粒子的速度越大，半径越大，出射点越靠近B点，运动时间也越来越短，直到从B点射出时粒子的速度无穷大，时间趋近于零，选项D错误。故选C。]
7．BD [根据左手定则判断可知，粒子在第一象限沿顺时针方向旋转，而在第四象限沿逆时针方向旋转，故不可能回到原点O，故A错误；由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m，解得r＝∝＝，可知粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为r1∶r2＝∶B＝1∶2，故C错误；粒子运动轨迹如图所示，
由几何关系可知，负电荷在第一象限的轨迹所对应的圆心角为60°，在第四象限轨迹所对应的圆心角也为60°，在一个周期内，粒子在第一象限运动的时间为t1＝T1＝，粒子在第四象限运动的时间为t2＝T2＝，完成一次周期性运动的时间为T′＝t1＋t2＝，故B正确；根据几何知识可知，粒子从原点出发后到第二次穿过x轴时，沿x轴前进的距离为x＝r1＋r2＝R＋2R＝3R，故D正确。故选BD。]
8．BD [
当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝sin 30°＝＝s＋R2，所以R2＝s，所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB＝m，所以得B>，故A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图(小圆弧)，由几何知识知相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB＝m，所以得B>，故C错误，D正确。故选BD。]
9．C [因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，质子可能的运动半径r＝(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝(n＝1，2，3，…)，质子的速度不可能为和Bkl，故A、B错误；质子由A到C的时间可能为t＝(n＝1，2，3，…)，故C正确，D错误。]
10．B [粒子在磁场中做匀速圆周运动有qBv＝，可得粒子在磁场中的周期T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝·T，可见轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。从几何关系上，过c点作ab圆弧的切线，带电粒子经过此切点时θ有最大值，所对应的圆周运动的圆心角最大，则圆心角θ＝240°，对应粒子的圆周运动半径r＝R，代入前面公式可得v＝，故选B。]
11．解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，
该粒子的圆心角为120°，则运动时间为t＝T＝。
(2)如图所示，粒子运动轨迹与ad相切时，由几何关系知该粒子的运动半径满足r＋r cos 30°＝
ab边界有粒子离开磁场的区域长度，即弦长为l＝2r cos 30°，得
l＝L。
(3)若速度方向偏转了60°，则粒子从cd中点射出磁场，圆心角为60°，弦长为L，则半径长为L。根据
qvB＝m，得v＝。
答案：(1) (2)L (3)
12．解析：若粒子带正电荷，粒子恰好不从PQ边界射出的临界轨迹如图甲所示。
设圆心为O1，则l＝R1(1＋cos 30°)
由qv1B＝，解得v1＝
对应运动时间t＝
若粒子带负电荷，粒子恰好不从PQ边界射出的临界轨迹如图乙所示。
设圆心为O2，半径为R2，则cos 30°＝
由qv2B＝，解得v2＝
对应运动时间t＝。
答案：或
