人教版九年级数学下册28.2.1 解直角三角形 试题 （含答案）

28.2.1 解直角三角形
一、单选题
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝α，则AB的长为（　　）
A．msinα B．mcosa C． D．
2．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3．小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　）
A．m B．150m C．m D．100m
4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则cos∠ACD＝（　　）
A． B． C． D．
5．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）米．
A． B． C．200cos20° D．200sin20°
6．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向的夹角为α（0°＜α＜90°），地下停车场层高CD＝3米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（　　）
A．3 B． C．3sinα D．3cosa
7．如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
8．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
二、填空题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，点D是AB边上一点，BD＝5，，则AC＝　 　．
10．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB、CD相交于点O，则sin∠BOC为 　 　．
11．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝1，∠ADB＝30°，，则BC的长为 　　．
12．“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨200米的B处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是 　 　米/秒．
三、解答题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a＝8，b＝8；
（2）∠B＝45°，c＝14．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
15．超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为2.7s．已知∠B＝45°，∠C＝30°．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）．
（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据 ≈1.7，
16．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
17．如图，在小明家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡BC，已知小山坡的坡面距离BC为200米，坡度i＝1：0.75，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°．
（1）求AB的长度；（结果精确到整数）
（2）一天傍晚，小明从A出发散步去山顶C，已知小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若他6：00出发，请通过计算说明他在6：20前能否到达山顶C处？
（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：tan15°≈0.27，sin15°≈0.26，tan15°≈0.96）
18.图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
19.2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：≈1.73）
20.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
21.小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．
23.暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
答案
一、单选题
1．
【解答】解：如图所示：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝m，
∴cosα＝，
∴AB＝，
故选：D．
2．
【解答】解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°，
∴cosA＝＝，
现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝
∴cosA的值不变．
故选：A．
3．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i＝1：，
∴tan∠A＝1：＝，
∴∠A＝30°，
∵AB＝300m，
∴BE＝AB＝150（m）．
∴他升高了150m．
故选：B．
4．
【解答】解：如图，
∵∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，CD＝5，
∴CD＝AD＝BD＝5，
∴AB＝10，∠ACD＝∠A，
∵BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴cos∠ACD＝cos∠A＝＝＝．
故选：D．
5．
【解答】解：∵，
∴AB＝AC sin∠C＝200sin20°，
故选：D．
6．
【解答】解：过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵斜坡AD与水平方向的夹角为α，
∴∠BAD＝α，
∴∠DCE＝α，
在Rt△CDE中，CE＝CD cosα＝3cosα（米），
故在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是3cosα米．
故选：D．
7．
【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故选：D．
8．
【解答】解：如图：
在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，
∴∠BAD＝∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，
∴CD＝BC+BD＝1+，
在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二、填空题
9．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵sin∠DCB＝，
在Rt△CDE中，sin∠DCB＝，
∴＝，
设DE＝3k，CD＝5k，
由勾股定理得：CE＝＝4k，
∵BC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，
在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，
由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，
即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，
整理得：25k2﹣64k+39＝0，
解得：k＝1，或k＝，
当k＝1时，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC，
即3：AC＝4：8，
∴AC＝6，
当k＝，DE＝3k＝，BE＝8﹣4k＝，
同理：DE：AC＝BE：BC，
即，
∴AC＝．
综上所述：AC＝6或 ．
10．
【解答】解：连接AE、BE，如图：
∵由图可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠CDE＝45°，
∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°，BE∥CD，
∴∠BOC＝∠ABE，
∵小正方形的边长为1，
在Rt△ABE中，AB＝＝，AE＝＝2，
∴sin∠ABE＝＝＝，
∴sin∠BOC＝sin∠ABE＝．
故答案为：．
11．【解答】解：∵AB＝1，
在Rt△OAB中，，
∴，
在Rt△DBC中，，
∴BC＝1．
故答案为：1．
12．【解答】解：过B作BD⊥AC，垂足为点D，
在Rt△BCD中，BD＝200米，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴CD＝BD＝200（米），
在Rt△ABD中，BD＝200米，∠DBA＝90°，∠ABD＝60°，
∴AD＝BDtan60°＝200（米），
∴AC＝AD+DC＝200+200＝200（1+）米，
则这时段动车的平均速度是×200（1+）＝20（+1）米/秒．
故答案为：20（+1）
三、解答题
13.解：（1）∵a＝8，b＝8，∠C＝90°；
∴c＝，∠A＝30°，∠B＝60°，
（2）∵∠B＝45°，c＝14，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，a＝b＝．
14.解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
15.解：（1）作AD⊥BC，则AD＝20m，
∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝20m，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝20m，
∴BC＝BD+CD＝（20+20）m，
∴B，C之间的距离是20+20）m．
（2）这辆汽车超速，理由如下：
≈＝20（m/s），
∵20m/s＝72km/h＞70km/h，
∴这辆汽车超速．
16.解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cos72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
17.解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：CE＝AF，CF＝AE，
∵小山坡BC的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
∴设CE＝4x米，则BE＝3x米，
在Rt△CEB中，BC＝＝＝5x（米），
∵BC＝200米，
∴5x＝200，
解得：x＝40，
∴CE＝AF＝160米，BE＝120米，
设AB＝y米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝（120+y）米，
在Rt△CFD中，∠DCF＝15°，
∴DF＝CF tan15°≈0.96（120+y）米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB tan45°＝y（米），
∵AF+DF＝AD，
∴160+0.96（120+y）＝y，
解得：y≈264，
∴AB＝264米，
∴AB的长度约为264米；
（2）若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处，
理由：∵小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，
∴小明从A出发散步去山顶C需要的时间＝+＝14（分钟），
∴若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处．
18.解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
19.解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO＝AC＝（km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC＝AC＝4（km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4（km），
∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，
∴飞船从A处到B处的平均速度＝≈0.3（km/s）．
20.解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝（米），
∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
21.解：如图，过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴得矩形CDFG，矩形EFBH，
∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，
在Rt△CGE中，CG＝50m，∠ECG＝α＝22°，
则EG＝CG tan∠ECG≈50×0.40＝20.00（m），
∴CD＝FG＝EF﹣EG＝48﹣20.0＝28.00（m），
在Rt△EFB中，EF＝48m，∠EBF＝α＝22°，
则EF＝FB tan∠EBF，
∴48≈FB×0.40，
∴FB＝120.00（m），
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120m，∠AEH＝β＝16.7°，
则AH＝EH tan∠AEH≈120×0.30＝36.00（m），
∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36.00+48＝84.00（m），
∴AB﹣CD＝84.00﹣28.00＝56.00（m），
答：楼AB与CD的高度差约为56.00m．
22.解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，
在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，
∴DM＝BM tan∠DBM＝24×＝24（米），
∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．
答：教学楼AB的高度为25.6米；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，
在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，
∴tan∠MBE＝＝＝，
∴∠MBE＝30°＝∠DGE，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米，
∴DG＝ED tan60°＝48（米），
∴48÷4＝12（秒），
∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线．
23.解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.4（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．