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北京一零一中 2024－2025 学年度第二学期初三练习 7. 若 A x1, y1 ,B x2, y2 都在函数 y 的图象上，且0 x1 x2，则（ ）x
数 学 2025.3 A． y1 y2 B． y1 y2 C． y1 y2 D． y1 y2
8. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） S I ， SII ， SIII .给出以下结论：
1. 北京大运河博物馆在 2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开
①Ⅰ和Ⅱ合在一起(无重叠部分)能拼成一个菱形；
了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起(无重叠部分)能拼成一个菱形；
纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ）
③Ⅲ中最小内角是75 ，最大的内角是120 ；
④ SIII 2 S S .A． B． C I Ⅱ． D．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
2. 实数 a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 若 x 7 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 ．
A． a b B． a b 0 C． ac 0 D． a c 10. 请你写出一个函数，使它的图象经过点 A(1, 2)，这个函数的表达式可以是______．
3 2
3. 我国神舟十九号在 2024 11. 把多项式 分解因式的结果是______．年 10月 30号成功发射，新华网进行全程直播，超过 5120000多 a 2a a
3 2
5120000 12. 分式方程 0的解为______.人次在线观看， 用科学记数法表示为（ ） 2x x 3
A．5.12 107 B．0.512 107 C．5.12 106 D．51.2 105 13. 某花店有单价为 10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量
4. 如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 A，点 C分别在 情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为______元．
直线 a，b上，且 a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．155°
5. 3月 14日是国际数学节．我校数学组在今年第三届数学节策划了“解密风云”、“连数
成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，
则他们都选择“解密风云”游戏的概率是（ ） 第 13题图 第 14题图 第 15 题图
1 1 1 2
A． B． C． D． 14. 如图，点 A,B,C,D是 O上的四个点，点 B 是 ABC的中点．如果 ABC 60 ，那么
9 6 3 3
6. 半径为 2cm，圆心角为90 的扇形的面积等于（ ） ADB ______°．
A． 4πcm2 B． 2πcm2 C． πcm 2 D．1cm2 15. 如图，在 ABC中，AB AC， A 30 ，以 B为圆心，BC长为半径画弧，分别交 AC，
AB于D，E两点，并连接 BD，DE ，则 BDE的度数为______°．
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密 封 线 内 不 要 答 题
16. “绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路 21. 已知关于 x的一元二次方程 x
2 2 m x 1 m 0．
口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波 （1）求证：该方程总有两个实数根；
控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： （2）若m 0，且该方程的两个实数根的差为 2，求m的值.
指标 优化前 优化后 备注
22. 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点(0,2)，且与函数 y= x+5的
图象在 x=2处相交.
行程总时间 25.4分钟 12分钟
（1）求这个一次函数的解析式；
行程总时间 红灯等待时间+行
红灯等待
7 1 驶时间．如：若汽车经过一路段次 次 （2）当 x>2时，对于 x的每一个值，函数 y=mx（m≠0）的值既大于函数 y= x+5的值，也
次数 的行程总时间为 20分钟，红灯 大于函数 y=kx+b的值，直接写出 m的取值范围.
等待时间共计 2分钟，则行驶时
间为 18分钟．
单次红灯平 为优化前的 23. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里
均等待时长 50%
程是人们选择时参考的重要指标.某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试
标准(标准M和标准 N)，对市面上常见的 9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公
行驶速度 500米/分钟 800米/分钟 行驶速度 总路程÷行驶时间 布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：
a.标准M下的实测续航里程数据为：
设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为 t分钟，则 t的值为_______.
三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题每小题 5 分，第 23~24 题每小题 6 分，第 25 题 5 分， 324.8，355.8，378.2，385，404.2，407.9，441.2，445，463.2(单位：km)
第 26~28 题每小题 7分） b.标准 N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图(图 1)；
1
17. 计算： 2cos30 12 1 3 2 .
2
4x 7
x 218. 解不等式组： 3 .
3 x 1 x 5
19. 已知 x2 2x 2 0，求代数式 x x 2 x 3 2的值.
20. 如图，在 ABCD中，点 O为线段 AD的中点，延长 BO交CD的延长线于点 E，连接 AE,BD，
BDC=90 ．
c.标准 N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为 x(单位：km)，
（1）求证：四边形 ABDE是矩形； 数据分为 A~F六组(图 2)．
（2）连接OC．若 AB 4, BD 2 5，求OC的长．
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密 封 线 内 不 要 答 题
不同标准下实测续航里程统计表(单位：km) 25. 根据以下素材，探索完成任务.
素材 1：
图 1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 180°.
图 2是其侧面示意图.已知支架 AB 长为 3米，且垂直于地面 BC，悬托架 AE=DE=0.5米，
点 E 固定在伞面上，且伞面直径 DF 是 DE 的 4倍.当伞面完全张开时，点 D，E，F 始终
根据信息回答以下问题： 共线.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手
（1）补全图 2； 柄 D 沿着 AB 移动，以保证太阳光线与 EF 始终垂直.
（2）不同标准下实测续航里程统计表中 a= ______，在 A~F六组数据中，b所在的组是______
（只填写 A~F 2 2 2 2中的相应代号即可）；比较 S1 与 S2 的大小关系为: S1 ______ S2 (填“＞”，
“=”或“＜”)；
（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值(简称“续航里程达成比”)
越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，小宇打
算为家里选购纯电动汽车，如果在标准 N下，他希望购买续航里程达成比不低于 80%， 素材 2：
并且实测续航里程不低于 300km的车型，那么共有 种车型可供其选择. 某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材 3：
24. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以 AB为直径的⊙O AC D E BC 小东坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为 1米，如图 2，小东坐的位置记交 于点 ， 为 边的中点，
连接 DE. 为点 Q .
（1）求证：DE与⊙O 相切； 任务 1：
14 点时影子 GH 的长度为 米,此时伞面 DF 与支架 AB 所夹的锐角
5
（2）若 tanC ，DE=1，求 AD的长．
2 为 °，自动手柄 D与地面的距离为 米.
任务 2：
若使小东在这天 15：00 整露营休息时
不被太阳光照射到，设他所坐的位置 Q到
支架 AB的距离为 m米，则 m的取值范围
是 .
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密 封 线 内 不 要 答 题
26. 2在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax 2atx 1(a 0)，点 A(t 2,m)，B(4 t,n) 28. 在平面直角坐标系 xOy中, O的半径为 1, 给定直线 l与点Q , 对于不在直线 l上的点
在图象上，并且m n． P给出如下定义: 作点 P关于直线 l的对称点 P ' , 若点 P '位于 O上或 O内，且点 P
（1）判断抛物线的开口方向是 （填“向上”或“向下”），并说明理由； 到定点Q的距离 PQ为所有符合条件的 P中的最大值或最小值，则称点 P为点Q关于直
（2）若点C(2t 3, p)也在抛物线上，且满足m 1 p，求 t的取值范围． 线 l与 O的“反射极值点”，对应最大值的点称为“反射极大值点”，对应最小值的点称为
“反射极小值点”.
（1）已知直线 l1：y x 2 .
①点 A 2,1 , 在点 B1 1, 2 , B2 2, 1 , B3 2, 3 , B4 3,0 中, 点 A关于直线 l1与
O的“反射极值点”是 ；
27. ABC ABC 90 AB BC BC B 在 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 （0 90 ）
②若点C为直线 l2：y x 2上的动点, 且点C到其关于直线 l1与 O的“反射极大值
得到线段 BD，连接 AD交BC边于点 E，连接CD并作 CBD的平分线交CD于点 F ，
AD G 点”与“反射极小值点”的距离之比为3:1 , 直接写出点C的坐标；交 于点 .
（2）已知点Q 0,2 , 直线 l恒过定点 2,0 , 记点Q关于直线 l与 O的“反射极大值点”
（1）在图 1中补全图形；
（2）用等式表示线段 AG与 BF的数量关系并证明； 为P1，“反射极小值点”为 P2，当直线 l绕点 2,0 旋转时, 直接写出 P1Q与 P2Q的取值
（3）若 AB 1，当点E是 BC边中点时，直接写出CD的长. 范围.
图 1 备用图
备用图
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密 封 线 内 不 要 答 题北京一零一中 2024－2025 学年度第二学期初三练习
数学参考答案 2025.3
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B A C A D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9 10 11 12 13 14 15 16
= 2
≥ 7 （答案不 ( 1)2 x=9 17 60 67.5 1
唯一）
三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题每小题 5 分，第 23~24 题每小题 6 分，第 25 题 5
分，第 26~28 题每小题 7 分）
1
2cos30 12 1 3 2 .
17.计算： 2
2 3 2 3 2 3 2
2 ……………………4分
2 3 ……………………5分
18.解：解不等式①得： x 1 ……………………2分
解不等式②得： x 1 ……………………4分
不等式组的解为 1 x 1. ……………………5分
19.解：
x x 2 x 3 2
x2 2x x2 6x 9 ……………………2分
2x2 4x 9 ……………………3分
x2 2x 2 0
x2 2x 2
∴原式=13 ……………………5分
20.（1）证明：∵O为 AD的中点，
∴ AO DO，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴ BAO EDO，
又∵ AOB DOE，
∴ AOB≌ DOE ASA ， ……………………1分
∴ AB DE ，
∴四边形 ABDE是平行四边形， ……………………2分
∵ BDC=90 ，
∴ BDE 90 ，
∴平行四边形 ABDE是矩形； ……………………3分
（2）解：如图，过点O作OF DE于点 F ，
∵四边形 ABDE是矩形，
1
∴DE AB 2，OD AD 1，OB OE BE ， AD BE，
2 2
∴OD OE，
∵OF DE， ∴DF
1
EF DE 2
2
∴OF为 BDE的中位线，
∴OF
1
BD 5， ……………………4分
2
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴CD AB 4，
∴CF CD DF 6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC OF 2 CF 2 ( 5)2 62 41，
即OC的长为 41． ……………………5分
21.（1）证明：∵Δ 2 m 2 4 1 1 m m2 0， ……………………1分
∴该方程总有两个实数根； ……………………2分
（2 2）解：∵ x 2 m x 1 m 0，
∴ x 1 m x 1 0，
∴ x 1 m 0或 x 1 0，
∴ x1 m 1， x2 1，……………………4分
∵m 0，
∴ x1 m 1 1
，
∵该方程的两个实数根的差为 2，
∴ m 1 1 2，
解得m 2．……………………5分
22.（1）∵一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点(0,2)
∴b=2 ……………………1分
∵当 x=2时， y= 2+5 =3.
∴一次函数 y=kx+2（k≠0）的图象经过点(2,3) ……………………2分
∴ k 1
2
∴一次函数的解析式为 y 1 x 2 ……………………3分
2
（2）m 3 ……………………5分
2
23.（1）
……………………1分
（2）404.2，C， < ……………………4分
（3）3 ……………………6分
24.（1）证明：连接 BD、OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E为 BC边的中点，∴DE=EC，∴∠1=∠C， ………………………………1分
∵OA=OD，∴∠2=∠A， ………………………………2 分
∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°，
∴∠ODE =90°，∴OD⊥DE于点 D， ………………………………………3分
∵D是半径的外端，
∴DE与⊙O 相切.
DE 1(2) ∵∠BDC=90°，E为 BC边的中点，∴ BC，∵DE=1，∴BC=2，
2
AB
在 Rt△ABC中，tanC= ，
BC
5
∴AB=BC· = 5，…………………………………4 分
2
在 Rt△ABC中，
AC= AB2 BC 2 = ( 5)2 22 =3，………………5分
AD AB
又∵△ABD∽△ACB，∴ ，
AB AC
AD 5
即 ，
5 3
5
∴AD= .………………………………………………6 分
3
4 3
25.任务 1： ，60，2.5 ……………………3分
3
3 2 m 2 3 2任务 2： …………………5分
2 2
26.
（1）向上 ……………………1分
设 y ax2 2atx 1 a(x t)2 1 at 2
则m 4a 1 at 2，n 16a 1 at 2
又 m n
4a 16a
a 0 ……………………3分
抛物线开口向上
（2）方法一：代数法
当x 0时，y 1， (0,1)在抛物线上
又 m 1 p， p 1 0，1 m 0
设 y ax2 2atx 1 a(x t)2 1 at 2
则 p a(t 3)2 1 at 2，m 4a 1 at 2
p 1 a(t 3)2 1 at 2 1 3a(2t 3) 0
3 0，a 0
2t 3 0
t 3 ……………………4分
2
同理1 m 1 (4a 1 at 2) a(t 2 4) 0
a 0， t 2 4 0
t 2或t 2 ……………………5分
综上所述， t的取值范围为 t 2 .……………………7分
方法二：数形结合
对称轴为 x t， C(2t 3, p)关于对称轴的对称点为 (3, p)
又 a 0， 当 x t时， y随 x的增大而增大；当 x t时， y随 x的增大而减小.
①当 t 0时， A(t 2,m)关于 x t 的对称点为 (t 2,m)
m 1 p，
t 2 0 3，
t 2 .……………………4分
②当0 t 3时，
m 1 p，
2t 3 0 t 2
此时不等式组无解.……………………5分
③当 t 3时，C(2t 3, p)关于对称轴的对称点为 (3, p)
0 3 t
1 p
与m 1 p矛盾.……………………6分
综上所述， t的取值范围为 t 2 .……………………7分
27.（1）补全图形如下：
……………………1分
（2）数量关系： AG 2BF ……………………2分
证： BC绕点 B逆时针旋转 得到线段 BD ,
CBD ,BC BD ,
ABC 90 ,AB BC ,
ABD ABC CBD 90 ,AB BD
BDA BAD 1 (180 ABD) 45 ,……………………3分
2 2
BF 平分 CBD , AB BD
CBF DBF 1 CBD
2 2
BGA DBF BDA 45 45 ……………………4分
2 2
过点 A作 AH FB交 FB延长线于点H ，
AG 2HA 2HG , HBA 90 CBF 90 BCF
2
AHB BFC (AAS ) ……………………5分
HA BF
AG 2HA 2BF .
10
（3）CD . ……………………7分
5
28.
(1) B① 2 , B3 ; ……………………2分
2,0 与 4, 2 ; ……………………4分
②
(2) 2 2 1 P1Q 2 2 3 , 0 P2Q 1 2 2 . ……………………7分
