素养提升练(二) 波的图像与振动图像的综合问题 波的多解问题
一、选择题
1．根据如图所示的甲、乙两图像，分别判断它们属于何种图像( )
A．甲是振动图像，乙是波的图像
B．甲是波的图像，乙是振动图像
C．都是波的图像
D．都是振动图像
2．一列简谐横波沿x轴正方向传播，某同学画出了传播过程中的振动和波的x-y-t图像。如图所示，图中曲线①②③均为正弦曲线，其中曲线①在xOy平面内，曲线②所在的平面平行于xOy平面，曲线③在yOt平面内。则t＝6 s时x＝10 cm处的质点( )
A．位移y＝0，沿y轴正方向运动
B．位移y＝0，沿y轴负方向运动
C．位移y＝＋2 cm
D．位移 y＝－2 cm
3．两列简谐横波分别沿x轴相向传播，两波源分别位于x1＝－0.2 m和x2＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为 2 cm。 图为t＝0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在xP＝0.2 m和xQ＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于xM＝0.5 m处。下列说法正确的是( )
A．t1＝0.75 s时M点开始向上振动
B．若两波源只振动一个周期，在t2＝1.5 s时，P质点将向上振动
C．若两波源一直振动，相遇以后Q点为振动加强点，其振幅为4 cm
D．若两波源一直振动，相遇以后M点为振动加强点，其振幅为4 cm
4．(2022·天津卷)在同一均匀介质中，分别位于坐标原点和x＝7 m处的两个波源O和P，沿y轴振动，形成了两列相向传播的简谐横波a和b，某时刻a和b分别传播到x＝3 m 和x＝5 m处，波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．a与b的频率之比为2∶1
B．O与P开始振动的时刻相同
C．a与b相遇后会出现干涉现象
D．O开始振动时沿y轴正方向运动
5．(多选)一列简谐横波沿水平方向向右传播，在该波上有M、N两质点，平衡位置间距为 3 m。 从某时刻开始计时，两质点的振动图像如图乙、丙所示，若M、N两质点间平衡位置的距离小于该简谐横波的波长，下列说法正确的是( )
A．该简谐横波的传播周期为3.6 s
B．t＝4.5 s时质点M偏离平衡位置的位移最大
C．该简谐横波的传播速度为5.0 m/s
D．沿振动方向两质点间最大距离为20 cm
6．(多选)(2019·天津卷)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是( )
A．7 m/s B．2 m/s
C．1.2 m/s D．1 m/s
7．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是( )
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
8．(多选)一列简谐横波在某介质中传播时经过a、b两点，a、b两点的平衡位置相距3 m。如图所示，实线表示a点的振动图像，虚线表示b点的振动图像。则( )
A．质点a的振动方程为y＝2sin cm
B．质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm
C．该波的传播速度可能为90 m/s
D．该波的传播速度可能为 m/s
二、非选择题
9．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
10．一列简谐横波在沿x轴的传播方向上，有两个质点a和b，其平衡位置之间的距离为6 m，这两个质点的振动图像分别如图甲中的实线和虚线所示，且质点a离波源较近。
(1)如果a、b间距离小于一个波长，请在图乙中画出a、b间在t＝3 s时的波形图；
(2)求出所有可能的波长值；
(3)求出所有可能的波速大小。(共24张PPT)
第三章 机械波
素养提升课(二) 波的图像与振动图像的综合问题 波的多解问题
学习任务
1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。
2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
探究重构·关键能力达成
探究1 波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理
意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
图像信息 直读 (1)周期T、振幅A
(2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A
(2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向
(2)传播方向、振动方向的互判
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
图像
变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象
比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】 (多选)(2022·山东卷)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动
图像如图所示。当t＝7 s时，
简谐波的波动图像可能正确
的是( )
A B
C D
√
√
规律方法 分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
[针对训练]
1．(多选)一简谐机械波沿x轴负方向传播，波长为λ，周期为T。如图甲所示为t＝0时刻的波形图，a、b、c是波上的三个质点。如图乙所示是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，质点a的加速度比质点b的小
B．质点b和质点c的速度方向总是相反的
C．图乙可以表示质点b的振动
D．图乙可以表示质点c的振动
√
√
BD [t＝0时，质点a的加速度比质点b的加速度大，故A错误；质点b和质点c都处于平衡位置且相距半个波长，二者速度方向总是相反的，故B正确；由题图甲可知t＝0时质点b由平衡位置向下振动，质点c由平衡位置向上振动，题图乙中t＝0时质点由平衡位置向上振动，故题图乙不能表示质点b的振动，但可以表示质点c的振动，故C错误，D正确。]
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是该波中某振动
质点的位移随时间变化的图像
(两图用同一时刻作为起点)。
(1)图乙可能是图甲中质点________(填正确选项即可)的振动图像；若该波沿x轴正方向传播，则图乙可能是图甲中质点________(填正确选项即可)的振动图像。
A．x＝0处的质点 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
A
C
[解析] (1)当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故A正确。若该波沿x轴正方向传播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故C正确。
(2)由题图甲知，在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动图像如图所示。
[答案] (2)见解析图
探究2 波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例2】 (多选)(2021·山东卷)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是( )
A B
C D
√
√
规律方法 解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
[针对训练]
3．简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距
10 m的两个质点，波先传到质点P，当波传到质点Q开始计时，P、Q两个质点的振动图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B．该波从质点P传到Q的时间可能为8 s
C．该波的传播速度大小可能为2 m/s
D．该波的波长可能为7.5 m
√
4．一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x＝12 m处的质点的振动图像如图甲所示，在x＝18 m处的质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．该波的周期为15 s
B．该波的波长可能为8 m
C．在0～4 s内，x＝12 m处和x＝18 m处的质点通过的路程均为
6 cm
D．x＝12 m处的质点在平衡位置向上振动时，x＝18 m处的质点在波谷
√素养提升练(二)
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D A AC BC AC BCD
1．B [波的图像横轴为x轴，表示介质中各振动质点的平衡位置，振动图像横轴为t轴，表示时间，故选项B正确。]
2．A [由题图可知λ＝4 cm，T＝2 s，则波速为v＝＝2 cm/s， 由题图可知，0时刻波传到了x＝4 cm处，则波传到x＝10 cm处的时刻为t＝ s＝3 s，所以t＝6 s时x＝10 cm处的质点振动了一个半周期，又因为波沿x轴正方向传播，根据图像再结合上下坡法可知，质点的起振方向沿y轴负方向，所以一个半周期后，x＝10 cm处的质点处于平衡位置，即位移y＝0，且振动方向沿y轴正方向。故选A。]
3．D [在0.75 s内波传播的距离x＝vt1＝0.4×0.75 m＝0.3 m， 由题图可知，P、Q处的波形传到M，而t＝0时刻P、Q两点处的质点是向下振动的，所以经过0.75 s时间M点向下振动，故A错误；经过 1.5 s， 波传播的距离为x'＝vt2＝0.4×1.5 m＝0.6 m， 若两波源只振动一个周期，左列波的波源处的振动形式传到0.4 m位置处，对于左列波来讲，不在P点引起振动了，右列波的Q点振动形式恰好传到P点，引起的振动是向下的，则P质点将向下振动，故B错误；若两波源一直振动，Q点到两波源的距离差为Δx＝1 m－0.4 m＝0.6 m＝1.5λ，且两波源起振方向相同，所以振动是减弱的，故C错误；M点距两波源距离相等，且两波源起振方向相同，所以M点是振动加强的点，振幅等于两振幅之和，故D正确。]
4．A [由同一均匀介质条件可得a和b两列波在介质中传播速度v相同，由题图可知，a和b两列波的波长之比为，根据f＝可得a与b的频率之比为，故A正确；因a和b两列波的波速相同，a和b两列波分别传播到x＝3 m和x＝5 m处的时刻相同，可知O与P开始振动的时刻不相同，故B错误；因a与b的频率不同，可知a与b相遇后不能产生干涉现象，故C错误；a波刚传到 3 m 处，由波形平移法可知，3 m处的质点开始振动的方向沿y轴负方向，而所有质点的开始振动的方向都相同，所以O点开始振动的方向也沿y轴负方向，故D错误。故选A。]
5．AC [由题图乙可知，M点的振动方程为yM＝10sin cm，代入图像上的数据可得φM＝，T＝3.6 s，即M点的振动方程为yM＝10sin cm，故A正确；把t＝4.5 s代入M点的振动方程得y′M＝10sin cm，解得y′M＝5 cm，故B错误；同理可知，N点的振动方程为yN＝10sin cm，由于M、N两点间距离小于波长，且波由M点传到N点，可知LMN＝λ＝3 m, 则λ＝18 m，根据v＝可得该简谐横波的传播速度为v＝5 m/s，故C正确；t＝0时刻，M点速度减小，N点速度增大，且此时两者速度相等，则沿振动方向两质点间最大距离为10 cm，故D错误。]
6．BC [由题图可知该波的传播周期T＝4 s，当该列波向右传播时，根据题干可知1 m和7 m之间的距离满足的关系为 6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则由v＝可得波速为v＝ m/s，当n＝1时可得v＝1.2 m/s；当波向左传播时 1 m 和7 m之间的距离关系满足6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则v＝ m/s，当n＝0时可得v＝2 m/s；将A和D选项代入两个波速表达式，n均不是整数，因此A、D错误，B、C正确。]
7．AC [该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0，1，2，…)，可得波长λ＝ m，当n＝0时λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是整数，选项C正确，D错误；周期T＝ m/s(n＝0，1，2，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。]
8．BCD [由题图知该波的周期为T＝0.4 s，振幅A＝2 cm，则圆频率ω＝＝5π rad/s，可得质点b的振动方程为y＝2sin(5πt)cm，质点a的振动方程为y＝2sincm，选项A错误，B正确；分析质点a的振动方程，当t＝ s＝时，y＝2 cm，而对质点b，当t＝0.1 s＝时，y＝2 cm，结合波的周期性可知，若波由质点a向质点b传播，则xab＝＋nλ， 可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝90 m/s；若波由质点b向质点a传播，则 xab＝＋nλ，可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，v＝ m/s，选项C、D正确。]
9．解析：(1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了
t2＝0.9 s＝2T＋T＝
质点P从平衡位置开始每振动经过的路程为 10 cm， 当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s'＝9A＝90 cm＝0.9 m。
答案：(1)10 m/s (2)1.1 s (3)0.9 m
10．解析：(1)由题图甲可知t＝3 s时b在平衡位置且沿着y轴正方向运动，而a位于波谷。根据a、b间距离小于一个波长且质点a离波源较近，可得波形图如图所示。
(2)质点a离波源较近，则波向右传播，结合(1)问可知λ＝6 m(n＝0，1，2，…)，由此可得λ＝ m(n＝0，1，2，…)。
(3)由题图甲可知，周期T＝6 s，根据λ＝vT得v＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
答案：(1)见解析图 (2) m(n＝0，1，2，…) (3) m/s(n＝0，1，2，…)
