第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元检测试卷（含解析）

2025北师大版八年级数学下册第二章单元检测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
3．设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
4．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．
解不等式． 解：去分母，得． …………① 去括号，得． …………② 移项，得． …………③ 合并同类项，得． …………④ 系数化为1，得． …………⑤
晓晓的解题过程开始错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
8．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是解为
9．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．根据“a的3倍与2的差小于0”列出的不等式是： ．
12．如果不等式的解集是，那么a必须满足 ．
13．某商场计划购进甲、乙两种商品共100件．甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价35元，且购进两种商品的总费用不超过2700元，则购进甲种商品不少于 件．
14．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ．
15．设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ．
16．如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式（组）：
(1)；
(2)，并把它的解集表示在数轴上．
18．如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y．
(1)填写下表：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示）
(2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值；
(3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围．
19．定义关于的一种运算：，如．
(1)若，求的取值范围．
(2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值．
20．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m得取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)关于的不等式的解集为 ；
(3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ．
22．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．

(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
23．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
(2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
(3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得．
【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项，的解集是，解不等式得，故正确；
D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
3．设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意；
B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意；
C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意；
D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
故选：D．
5．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．
解不等式． 解：去分母，得． …………① 去括号，得． …………② 移项，得． …………③ 合并同类项，得． …………④ 系数化为1，得． …………⑤
晓晓的解题过程开始错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可得到答案．
【详解】解：．
去分母，得． …………①
去括号，得． …………②
移项，得． …………③
合并同类项，得． …………④
系数化为1，得． …………⑤
由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①，
故选：A
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键．
【详解】解：∵不等式，
∴，
∵不等式的解集是，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：．
7．某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】B
【分析】设最多可打x折，根据题意，得，求整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键．
【详解】解：设最多可打x折，
根据题意，得，
解得．
故最多打7折，
故选B．
8．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是解为
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D．
【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点，
∴方程的解是，
故选项错误，不符合题意；
B．由图象可得的解集为，
由图象可得的解集为，
∴不等式和不等式的解集不相同，
故选项错误，不符合题意；
C．将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
由图象可知，的解集是，
由图象可知，当时，直线在直线的下方，
∴当时，，
∴不等式组的解集是，
故选项正确，符合题意；
D．∵直线与直线相交于点P，
∴方程组的解为，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系．
首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系．
【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元，
∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，
∴ ，
解得：，
故选：A．
10．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．根据“a的3倍与2的差小于0”列出的不等式是： ．
【答案】3a﹣2＜0
【分析】关键描述语是：差小于0，应先算a的3倍，再算差．
【详解】根据题意，得3a﹣2＜0．
故答案为：3a﹣2＜0．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12．如果不等式的解集是，那么a必须满足 ．
【答案】
【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．
【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，
∴a-2＜0，
解得，a＜2．
故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．
13．某商场计划购进甲、乙两种商品共100件．甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价35元，且购进两种商品的总费用不超过2700元，则购进甲种商品不少于 件．
【答案】40
【分析】本题考查不等式的实际应用，设购进甲种商品为件，根据购进两种商品的总费用不超过2700元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设购进甲种商品为件，则购进乙种商品件，由题意，得：
，
解得：；
答：购进甲种商品不少于40件；
故答案为：40．
14．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次不等式，先解方程得，即可得，再求解即可．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
∴，
∵原方程的解是负数，
∴，
解得，
故答案为：．
15．设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据题意正确画出图形并灵活运用数形结合是解答本题的关键．根据题意画出画在同一个坐标系中，再利用数形结合确定图形即可确定最小值．
【详解】解：如图：将画在同一个坐标系中，
令，
解得：，
则两条直线交点为，
当时，函数，最小值为；
当时，函数，最小值为；
综上，关于x的函数的最小值为，
故答案为：．
16．如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到与之间的关系，从而不难求解．
【详解】解：，，，，
，，，，
，
要使得这样的钢条恰好焊上根，
，
由题意得：，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式（组）：
(1)；
(2)，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：去括号，得，
移项得：，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y．
(1)填写下表：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示）
(2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值；
(3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形规律可得，；，，，，进而得出答案；
（2）根据（1）中得出的规律列出方程，求解即可；
（3）根据（1）中的结论列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：，；
，；
，；
，；
∴；
故答案为：，；
（2）根据题意可得：，
解得：；
（3）根据题意可得：，
解得：．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键．
19．定义关于的一种运算：，如．
(1)若，求的取值范围．
(2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解；
（）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解；
本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴；
（2）解：解不等式得，，
由得，，
∴，
∵不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
20．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m得取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数：
（1）先利用加减消元法求出方程组的解为，进而得到，解不等式组即可得到答案；
（2）先把原不等式变形为，根据解集为得到，进而求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵x为非正数，y为负数，
∴，，
∴，
解得，
∴m的取值范围是．
（2）解：将不等式整理，得，
∵其解集为，
∴，
解得
∴．
结合m取整数，可得，
即当时，不等式的解集为．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)关于的不等式的解集为 ；
(3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合思想求解；
（3）根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
，
解得：
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得，当时，，
故答案为；
（3）解：设，
由题意得：，
解得：或，
或，
或，
故答案为：或．
22．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．

(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
【答案】(1)
(2)2.5秒
(3)秒或12秒
【分析】（1）根据当时，点F在线段上运动可得答案；
（2）根据当平分的面积时，点F是线段的中点可得答案；
（3）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1）当时，，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵平分的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）分两种情况讨论：
①点F在点C左侧时，，
则，
解得；
②当点F在点C的右侧时，，
则，
解得，
综上所述，或12时，；
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键．
23．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
(2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
(3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑
(2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台
(3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值；
（2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；
（3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6．
【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
，均为正整数，
的最大值为12，的最大值为5．
答：最多可以购买5台型电脑；
（2）解：共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下：
（元，，
可能有两种情况．
①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买3台型电脑，33台型电脑；
②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买7台型电脑，29台型电脑．
共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑；
（3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，
根据题意得：，
．
购买型电脑的实际总费用不少于100000元，
，
即，
解得：，
．
答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值．