第一章三角形的证明单元检测试卷（含解析）

2025北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元检测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，， B．， ，
C．， ， D．，，
2．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，中，，是高，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
8．如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，是边的垂直平分线，交于，过点作于点E，平分交于，连接．下列结论：①；② ；③ ；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．等腰三角形的一边长是6，另边长是10，则该等腰三角形的周长是 ．
12．如图所示的是的正方形网格，点，，都在网格点上，则 ．


13．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ．
14．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
15．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个．
16．如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证：
(1)．
(2)．
18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
19．如图，在中，，
(1)求证：；
(2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积．
20．如图，中，．
(1)利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
21．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．
(1)若是的角平分线，求证：；
(2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
22．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，连接，
①求证：是的平分线，
②若，，求的长度．
23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，， B．， ，
C．， ， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题．
【详解】解： ，，，
要根据“”证明，
需添加条件为斜边相等，即，
故选：A．
3．如图，若，，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
先依据等边对等角的性质得到，然后再结合全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：连接BC，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∵在和中，，
∴．
故选C．
4．如图，中，，是高，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答．
【详解】解：∵中，是高，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
5．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；
本题先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数；
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
故选：B；
6．如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-基本作图，由作法得， 平分， 再证明得到， 接着利用三角形的内角和定理得到，即可求解．
【详解】解：由作法得， 平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选： B．
7．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：A．
8．如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
，
，
当在同一条直线上时，最小， 最小值为，
周长最小值为，
，
点是的中点，
，
，
，
故选：C ．
9．如图，中，，是边的垂直平分线，交于，过点作于点E，平分交于，连接．下列结论：①；② ；③ ；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
过点G作于点H，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，则点G到的距离为6．
【详解】解：过点G作于点H，
由作图过程可知，射线为的平分线，
∵，，
∴，
∴点G到的距离为6．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．等腰三角形的一边长是6，另边长是10，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】22或26/26或22
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．分两种情况解答即可求解．
【详解】解：若腰长为6，此时该等腰三角形的周长是；
若腰长为10，此时该等腰三角形的周长是；
综上所述，该等腰三角形的周长是22或26．
故答案为：22或26
12．如图所示的是的正方形网格，点，，都在网格点上，则 ．

【答案】
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，可得，即可求解．
【详解】解：延长至，连接，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到是等腰直角三角形．
13．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ．
【答案】9
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键．
过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：过点D作，垂足为M，连接，，
∵平分，且，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵边的垂直平分线与的延长线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
14．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
【答案】/40度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
15．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得，， ，， ，，求出，根据等腰三角形的性质得出 ，求出，再求出，即可判断；根据，，求出的周长，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可判断；在中，根据三边关系，即可判断；根据全等三角形的性质求出，，求出，即可判断．
【详解】解：∵点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，
∴，， ，， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
∵，，
∴的周长，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，故正确；
在中，，
∵，
∴，故正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴， 故正确，
综上可知：正确，共个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
16．如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，，
过点作于，于，
∴，
∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得：，
∴，
∴；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证：
(1)．
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．
（1）由，可得出，即可证明；
（2）由（1）可得，即可得，从而求证．
【详解】（1）证明：，
，即，
又，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
．
18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
设，，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
19．如图，在中，，
(1)求证：；
(2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；
（）过点作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积，
∴的面积为．
20．如图，中，．
(1)利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是作角平分线和含度角的直角三角形的性质，等角对等边；
（1）依据角平分线的作图方法即可得到；
（2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数，进而得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．
(1)若是的角平分线，求证：；
(2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】(1)见解析
(2)的大小不变，为定值
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）延长，相交于点F，先证明得到，再证明得到，进而可证得结论；
（2）过点C作于点M，于点N，证明得到，根据角平分线的判定定理证得是的角平分线，进而可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的大小不变，为定值，理由如下：
如图，过点C作于点M，于点N，
则，
∵，
∴，
由①可知，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴,
即的大小不变，为定值．
22．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，连接，
①求证：是的平分线，
②若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，再由又，，，可得，，即可求解；
（3）①过点C作，，垂足分别为，，则， 由全等的性质可得，再由可得，得到，从而得出是的平分线，求得，推导得出，即可求解；
②在线段上取一点G，使，连接，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，从而可得，再求解即可．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）解：如图，设交于点O，
由（1）可知，，
，
又，，，
，
；
（3）①证明：过点C作，，垂足分别为，，
则，
由（1）可知，
，
又，
，
，
是的平分线，
，
，
是的平分线，，
解：②在线段上取一点G，使，连接，
由（2）可知，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，从而，
在和中，
，
，
，
，，
，
23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出；
（2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）延长，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2），
证明：如图所示，延长到G，使，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．