2026人教版新教材数学高考第一轮同步基础练--课时规范练11　指数函数（含解析）

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课时规范练11　指数函数
基础巩固练
1.(2024·江西南昌模拟)已知a=(2)2,b=,c=2π,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b2.(2024·江苏宿迁模拟)函数y=(的值域为(　　)
A.(0,2] B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
3.(2024·安徽滁州模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　)
4.(2024·广西柳州期中)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(　　)
A.(0,) B.(-∞,)
C.(-∞,) D.(0,)
6.(多选题)(2024·湖北鄂州检测)已知函数f(x)=(a∈R),则下列结论成立的是(　　)
A.若f(x)是偶函数,则a=0
B.f(x)的单调递增区间是(-∞,-]
C.f(x)的值域为(0,1)
D.当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根
7.(2024·北京房山模拟)已知函数f(x),给出两个性质:①f(x)在R上是增函数;②对任意x∈R,f(x)>1.写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式f(x)=　　　　.
8.(2024·广东深圳期末)函数y=(的值域为　　　　　　　　.
9.(2024·山东潍坊模拟)若函数y=a1-x(a>0,且a≠1)在区间[-2,1]上的最大值和最小值的和为,则实数a=　　　　.
综合提升练
10.(2025·湖南常德开学考试)高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(　　)
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3,4}
D.{2,3,4,5}
11.(2024·福建三明模拟)已知函数f(x)=()|x-1|,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,则实数a的取值范围为(　　)
A.(,+∞)
B.(-∞,)
C.(,1)
D.(,1)∪(1,+∞)
12.(多选题)(2024·浙江金华模拟)若直线y=与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是(　　)
A. B.
C. D.3
13.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则不等式f(9x-3)>f(3x+b)的解集为　 .
14.(13分)已知a为实数,函数f(x)=a·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,并用定义法证明f(x)在R上单调递增;
(2)解关于x的不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0.
15.(13分)(2024·北京模拟)已知a为实数,函数f(x)=a-.
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)在(1)的条件下,对任意x∈[1,6],不等式f(x)≥恒成立,求实数u的最大值.
创新应用练
16.(多选题)(2024·江苏南京期中)已知函数f(x)=|2x-1|,当af(c)>f(b).给出以下命题,则正确的命题是(　　)
A.a+c<0 B.b+c<0
C.2a+2c>2 D.2b+2c>2
答案：
1.B　解析 因为y=2x在R上单调递增,a=(2)2=8=23,b=,又2<3<π,所以<23<2π,因此b2.A　解析 依题意,令t=x2-2x,则t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,因为y=()t在R上单调递减,且y=()t>0,所以y=()t≤()-1=2,所以函数y的值域为(0,2],故选A.
3.B　解析 由1.5x-1-1.5≠0得x≠2,排除A;当x>2时,1.5x>1.5x-1-1.5>0,所以f(x)>1,排除CD;又f(x)==1.5+,当x>2时,>0,故f(x)>1.5,故选项B符合题意,故选B.
4.B　解析 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点(2,2),即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到,且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不过第二象限.故选B.
5.A　解析 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·(1-)=3b<3-1=,又因为3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0,),故选A.
6.ABD　解析 对于A选项,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即,则-2x2+ax=-2x2-ax,即2ax=0对任意的x∈R恒成立,解得a=0,故A正确;对于B选项,内层函数u=-2x2-ax=-2(x+)2+的单调递增区间为(-∞,-],外层函数y=3u在定义域R上为增函数,由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-],故B正确;对于C选项,-2x2-ax=-2(x+)2+,则f(x)=(0,],故C错误;对于D选项,当a∈(0,1)时,由f(x)==a,可得-2x2-ax=log3a,则2x2+ax+log3a=0,Δ=a2-8log3a>0,所以当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根,故D正确.故选ABD.
7.2x+1(答案不唯一)　解析 取函数f(x)=2x+1,由指数函数的单调性可知,函数f(x)=2x+1在R上为增函数,满足性质①;因为2x>0恒成立,所以2x+1>1恒成立,所以对任意x∈R,f(x)>1,满足性质②.
8.(0,1)∪(1,+∞)　解析 由于0,故(>0且(1,故函数y=(的值域为(0,1)∪(1,+∞).
9　解析 由于函数y=a1-x(a>0,且a≠1)在区间[-2,1]上为单调函数,所以依题意有a3+a0=,解得a=
10.C　解析 f(x)==1+,
∵2x>0,∴1+2x>1,0<<1,则1<1+<5,即1当1综上,函数y=[f(x)]的值域为{1,2,3,4}.故选C.
11.A　解析 当x≥1时,f(x)=()|x-1|=()x-1在区间[1,+∞)上单调递减,又2a2+a+2=2(a+)2+>1,2a2-2a+4=2(a-)2+>1,所以由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,得f(2a2+a+2)2a2-2a+4,解得a>,所以实数a的取值范围为(,+∞),故选A.
12.ABC　解析 当a>1时,图象如图1所示,此时若直线y=与函数图象有两个公共点,需0<<1,即0图1
图2
综上可知,a的取值范围为(0,1)∪(1,2),因此结合选项,a的取值可以是,不可以是3,故选ABC.
13.(log32,log95]　解析 若0若a>1,f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以解得a=,b=-1或a=-,b=-1(舍去).综上,a=,b=-1.
此时f(x)=()x-1,x∈[0,2].由于f(9x-3)>f(3x-1),所以2≥9x-3>3x-1≥0,解得log3214.解 (1)由奇函数性质可知f(0)=a-1=0,可得a=1;当a=1时,f(x)=2x-2-x,满足f(-x)=2-x-2x=-f(x),满足题意,即a=1.
证明:取任意的x1,x2∈R,且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0等价于f(3x2-5x)>-f(x-4)=f(4-x);再由函数f(x)的单调性可得3x2-5x>4-x,即3x2-4x-4>0,解得x>2或x<-
因此不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0的解集为
15.解 (1)由题意可知f(x)的定义域为R.
若函数f(x)为奇函数,则f(0)=a-=0,解得a=,此时f(x)=,则f(x)+f(-x)==0,即f(x)=-f(-x),可知f(x)为奇函数,则a=符合题意,所以a=
(2)由(1)可知f(x)=
由不等式f(x)=,得u2x-因为x∈[1,6],令2x+1=t∈[3,65],则u(t-1)-(t+)-
又因为函数φ(t)=(t+)-在[3,65]上单调递增,则φ(t)min=φ(3)=1,可得u≤1,所以实数u的最大值为1.
16.AD　解析 f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)在(-∞,0)内单调递减,在[0,+∞)内单调递增.
因为af(c)>f(b).所以c>0.同理可得a<0,所以a<0f(c),所以|a|>c,所以-a>c,即a+c<0,A正确.
f(a)=|2a-1|=1-2a>f(c)=2c-1,
即2a+2c<2,C错误.
若b>0,因为f(a)>f(c)>f(b),所以|a|>c>b>0>a,此时b+c>0,B错误,2b+2c>20+20=2,D正确.
若b<0,因为f(a)>f(c)>f(b),所以|a|>|b|>c>0>b>a,f(c)=2c-1>f(b)=|2b-1|=1-2b,即2b+2c>2,综上所述,D正确.故选AD.
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