必修 第二册第六、七章单元练习（含答案）

第六、七章练习
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，，若，则实数（　　）
A． B． C．1 D．2
2．已知，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（　　）
A．16 B．14 C．12 D．8
4．在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（　　）
A． B． C．5 D．
5．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．已知复数，则（　　）
A．2022 B．2023 C． D．
7．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且，若P为的费马点，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设为复数，则下列结论中正确的是（　　）
A．若为虚数，则也为虚数 B．若，则的最大值为
C． D．
10．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（　　）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
11．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．复数满足，则　 　.
13．已知为所在平面内一点，且，连接，点在线段上且.若，则　 　.
14．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．已知
（1）求与方向相同的单位向量；
（2）若与单位向量垂直，求，.
16．已知，为虚数单位，复数.
（1）若，求m的值；
（2）若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.
17．已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合；
（2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值.
18．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，. 已知是纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若三点共线，求实数的值.
19．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：
（1）试将写成三角形式；
（2）已知，，，求的值；
（3）设，，，当时，求的最大值和最小值.
答案解析部分
1．A
2．C
3．B
4．C
5．B
6．B
7．A
8．A
9．A,C,D
10．A,C,D
11．A,C,D
12．
13．
14．
15．（1）解：．
（2）解：∵，，
∴，，
联立解得或．
16．（1）解：由题意得：，解得：或m=1，
经检验，均满足题意，故m的值为或 .
（2）解：由题意得，
得，解得：，
故m的取值范围是.
17．（1）最大值为，取得最大值时取值的集合为
（2）
18．（1）解：由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）解：由（1）可得，，
所以点，，点
所以，　　　　
因三点共线，所以，所以，
所以
19．（1）
（2）
（3）的最大值是3，最小值是0.
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