第六章 平行四边形
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=130°,则∠C的度数为( )
A.130° B.50° C.30° D.120°
第1题图
2.如图所示,在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
第2题图
A.AB∥CD,AD=BC
B.∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠CDA
C.AO=OC,DO=OB
D.AB=AD,CB=CD
3.若一个多边形的每个外角都等于45°,则它的边数为( )
A.六 B.七 C.八 D.九
4. ABCD的周长为40 cm,△ABC的周长为25 cm,则对角线AC长为( )
A.5 cm B.15 cm C.6 cm D.16 cm
5.如图所示,在 ABCD中,AE平分∠BAD且交BC于点E,∠D=58°,则∠AEC等于( )
A.61° B.109° C.119° D.122°
第5题图
6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,若S△ABD=
10 cm2,则S△ACD等于( )
第6题图
A.10 cm2 B.9 cm2
C.8 cm2 D.7 cm2
7.在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,则△DEF的周长为( )
A.9 B.12
C.14 D.16
8.如图所示,点O是平行四边形ABCD对角线的交点,EF过点O,且分别交AD,BC于点E,F.下列结论成立的是( )
第8题图
A.AE=BF B.OE=OF
C.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF
9.在平面直角坐标系中,以 A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是( )
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(-3,1) D.(-4,1)
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,过点D作 DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F,若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
第10题图
11.一个多边形截去一个角后,得到的多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为( )
A.5 B.5或6
C.5或7 D.5或6或7
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,EF⊥BC,垂足为F,∠D=60°,AE=2,则BF的长为( )
第12题图
A.1+ B.3
C.2 D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条,那么它的边数是
.
14.如图所示,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B,C重合),连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件 (只添加一个条件).
第14题图
15.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC的中点.若OE=3 cm,则AB的长为 cm.
第15题图
16.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(0,2),C(3,2),D(2,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A′,则A′C的最小值为 .
第16题图
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
若两个多边形的边数之比为2∶3,两个多边形的内角和之和为1 080°,求这两个多边形的边数.
18.(本题满分10分)
如图所示,在 ABCD中,∠A=140°,直线BE交AD于点E,交CD的延长线于点F,且DE=DF.求∠F的度数.
19.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,E,F分别为AC,AD的中点,连接EF,若∠ACD=120°,求线段EF的长度.
20.(本题满分10分)
已知,如图所示,AB∥CD,AB=CD,点E,F在BD上,∠BAE=∠DCF,连接AF,EC.求证:
(1)AE=FC;
(2)四边形AECF是平行四边形.
21.(本题满分10分)
如图所示,D,E,F分别为△ABC各边的中点,连接DE,EF,FD,AD.
(1)求证:AD和EF互相平分;
(2)若AB=12 cm,AC=10 cm,求四边形AEDF的周长.
22.(本题满分12分)
如图所示,四边形ABCD为平行四边形,连接AC,且 AC=2AB.请用尺规完成基本作图:作出∠BAC的平分线与BC交于点E,连接BD交AE于点F,交AC于点O.猜想线段BF和线段DF的数量关系,并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹,不写作法)
23.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(0,-2).
(1) 将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)求在平移的过程中,△ABC扫过的面积;
(3)请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
题图
24.(本题满分12分)
如图所示,在 ABCD中,点E是CD边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,BE⊥AF.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)求证:AE平分∠DAB;
(3)若∠DAB=60°,AB=4,则 ABCD的面积为 .
25.(本题满分12分)
如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=9 cm,BC=6 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以2 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以
1 cm/s 的速度由点C向点B运动.
(1)运动多少秒时,四边形APQB是平行四边形
(2)运动多少秒时,四边形PDCQ是平行四边形
(3)运动多少秒时,四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等 第六章 平行四边形
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=130°,则∠C的度数为(A)
A.130° B.50° C.30° D.120°
第1题图
2.如图所示,在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
第2题图
A.AB∥CD,AD=BC
B.∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠CDA
C.AO=OC,DO=OB
D.AB=AD,CB=CD
3.若一个多边形的每个外角都等于45°,则它的边数为(C)
A.六 B.七 C.八 D.九
4. ABCD的周长为40 cm,△ABC的周长为25 cm,则对角线AC长为(A)
A.5 cm B.15 cm C.6 cm D.16 cm
5.如图所示,在 ABCD中,AE平分∠BAD且交BC于点E,∠D=58°,则∠AEC等于(C)
A.61° B.109° C.119° D.122°
第5题图
6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,若S△ABD=
10 cm2,则S△ACD等于(A)
第6题图
A.10 cm2 B.9 cm2
C.8 cm2 D.7 cm2
7.在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,则△DEF的周长为(A)
A.9 B.12
C.14 D.16
8.如图所示,点O是平行四边形ABCD对角线的交点,EF过点O,且分别交AD,BC于点E,F.下列结论成立的是(B)
第8题图
A.AE=BF B.OE=OF
C.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF
9.在平面直角坐标系中,以 A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是(D)
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(-3,1) D.(-4,1)
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,过点D作 DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F,若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为(B)
A.4 B.3 C. D.2
第10题图
11.一个多边形截去一个角后,得到的多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为(D)
A.5 B.5或6
C.5或7 D.5或6或7
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,EF⊥BC,垂足为F,∠D=60°,AE=2,则BF的长为(B)
第12题图
A.1+ B.3
C.2 D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条,那么它的边数是
12 .
14.如图所示,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B,C重合),连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件 BD=CD(答案不唯一) (只添加一个条件).
第14题图
15.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC的中点.若OE=3 cm,则AB的长为 6 cm.
第15题图
16.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(0,2),C(3,2),D(2,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A′,则A′C的最小值为 3- .
第16题图
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
若两个多边形的边数之比为2∶3,两个多边形的内角和之和为1 080°,求这两个多边形的边数.
解:设多边形较少的边数为2n,则
(2n-2)·180°+(3n-2)·180°=1 080°,解得n=2.
则2n=4,3n=6.
故这两个多边形的边数分别为4,6.
18.(本题满分10分)
如图所示,在 ABCD中,∠A=140°,直线BE交AD于点E,交CD的延长线于点F,且DE=DF.求∠F的度数.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,∠A=140°,
∴∠EDC=40°.
又DE=DF,∴∠F=∠FED.
∴∠EDC=2∠F=40°,∠F=20°.
19.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,E,F分别为AC,AD的中点,连接EF,若∠ACD=120°,求线段EF的长度.
解:∵∠ACD=120°,
∴∠ACB=60°.
∵AB=AC=2,
∴△ABC是等边三角形.
∴BC=AB=2.
∴CD=BC=2.
∵E,F分别为AC,AD的中点,
∴EF=CD=1.
20.(本题满分10分)
已知,如图所示,AB∥CD,AB=CD,点E,F在BD上,∠BAE=∠DCF,连接AF,EC.求证:
(1)AE=FC;
(2)四边形AECF是平行四边形.
证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠D.
在△ABE和△CDF中,
∵∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AE=CF.
(2)由(1)得AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠CFE.
∴AE∥CF.
∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
21.(本题满分10分)
如图所示,D,E,F分别为△ABC各边的中点,连接DE,EF,FD,AD.
(1)求证:AD和EF互相平分;
(2)若AB=12 cm,AC=10 cm,求四边形AEDF的周长.
(1)证明:∵D,E,F分别为△ABC各边的中点,
∴DE,DF是△ABC的中位线.
∴DE∥AC,DF∥AB.
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴AD和EF互相平分.
(2)解:∵四边形AEDF是平行四边形,
∴DE=AF,DF=AE.
∵AB=12 cm,AC=10 cm,E,F分别为AB,AC的中点,
∴AE=6 cm,AF=5 cm.
∴四边形AEDF的周长为2(AE+AF)=2(6+5)=22(cm).
22.(本题满分12分)
如图所示,四边形ABCD为平行四边形,连接AC,且 AC=2AB.请用尺规完成基本作图:作出∠BAC的平分线与BC交于点E,连接BD交AE于点F,交AC于点O.猜想线段BF和线段DF的数量关系,并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹,不写作法)
解:用尺规完成的基本作图如图所示.
猜想:DF=3BF.
证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∴AC=2AO.
∵AC=2AB,
∴AO=AB.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴BF=OF=BO.
∴BF=OF=DO.
∴DF=DO+OF=2BF+BF=3BF.
23.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(0,-2).
(1) 将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)求在平移的过程中,△ABC扫过的面积;
(3)请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
题图
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
解图
(2)如图所示,连接AA1,CC1,△ABC扫过的面积为
+S△ABC
=4×5+
=24.5.
(3)顶点D的坐标为(1,0),(-1,-4)或(-5,6).
24.(本题满分12分)
如图所示,在 ABCD中,点E是CD边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,BE⊥AF.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)求证:AE平分∠DAB;
(3)若∠DAB=60°,AB=4,则 ABCD的面积为 .
(1)证明:∵在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠D=∠ECF.
∵点E是CD边的中点,
∴DE=CE.
又∵∠DEA=∠CEF,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)证明:由(1)可得△ADE≌△FCE,
∴AE=FE,∠F=∠DAE.
又∵BE⊥AF,
∴△ABF为等腰三角形.
∴∠F=∠BAE.
∴∠DAE=∠BAE,
即AE平分∠DAB.
(3)4
25.(本题满分12分)
如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=9 cm,BC=6 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以2 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以
1 cm/s 的速度由点C向点B运动.
(1)运动多少秒时,四边形APQB是平行四边形
(2)运动多少秒时,四边形PDCQ是平行四边形
(3)运动多少秒时,四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等
解:设运动x s.根据题意,有AP=2x cm,CQ=x cm,
∴PD=(9-2x)cm,BQ=(6-x)cm.
(1)∵AD∥BC,
∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形.
∴2x=6-x,解得x=2.
∴运动2 s时,四边形APQB是平行四边形.
(2)∵AD∥BC,
∴当PD=CQ时,四边形PDCQ是平行四边形.
∴9-2x=x,解得x=3.
∴运动3 s时,四边形PDCQ是平行四边形.
(3)∵四边形APQB和四边形PDCQ的高相同,
∴当AP+BQ=CQ+PD时,符合条件.
∴2x+(6-x)=x+(9-2x),解得x=1.5.
∴运动1.5 s时,四边形APQB和四边形 PDCQ 的面积相等.
