第三章 图形的平移与旋转
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列现象中,不属于平移的是(B)
A.滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B.时针的走动
C.商场自动扶梯上顾客的升降运动
D.火车在笔直的铁轨上行驶
2.下列数学符号中是中心对称图形的是(C)
A. B. C. D.
3.(2024贵州模拟)在平面直角坐标系中,若A,B两点的坐标分别是(-5,4),(3,1),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点C,则点A,C关于(B)
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
4.如图所示,把△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′,旋转后点A与点A′重合,点B与点B′重合,点C与点C′重合,则下列结论中,不一定正确的是(C)
A.OA=OA′ B.∠AOA′=∠BOB′
C.OB=OA D.△ABC≌△A′B′C′
第4题图
5.已知点A(-1,a),B(b,2)关于原点对称,则a+b的值是(A)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.如图所示,有a,b,c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线(D)
第6题图
A. a户最长 B.b户最长
C.c户最长 D.一样长
7.“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳能,要使接收太阳能最多,就要使光线垂直照射在太阳光板上.现在太阳光如图所示照射,当接收太阳能最多时,太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度是(B)
第7题图
A.46° B.44° C.36° D.54°
8.如图所示,在方格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是(B)
A.把△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移2格
B.把△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移5格
C.把△ABC向下平移4格,再绕点C逆时针旋转180°
D.把△ABC向下平移5格,再绕点C顺时针旋转180°
第8题图
9.如图所示,将△ABC沿BC方向向右平移到△A′B′C′的位置,连接AA′.已知△ABC的周长为22 cm,四边形ABC′A′的周长为 34 cm,则这次平移的距离为(B)
第9题图
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
10.如图所示,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转某个角度到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠CAB′的度数是(A)
第10题图
A.30° B.35° C.40° D.50°
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,若点A′恰好在边BC上,则点B′与点B之间的距离为(B)
第11题图
A.6 B.6
C.6 D.12
12.如图所示,在4×4的网格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.现要在这张网格纸中找出一格点作为旋转中心,绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上,若旋转前后的两个三角形构成中心对称图形,则满足条件的旋转中心有(C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.20个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图所示,将点M绕点O顺时针旋转90°得到点N,则点N在 第三象限 .
第13题图
14.如图所示,△ABC经过平移得到△A′B′C′,连接BB′,CC′,若BB′=1.2 cm,则CC′= 1.2 cm.
第14题图
15.已知点P(2m-1,-m+3)关于原点的对称点在第三象限,则m的取值范围是
16.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,点E在DC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后与△ABF重合,再将△ABF沿BC向右平移后与△DCH重合.给出四个结论:①旋转的角度为90°;②连接EF,则△AEF是等腰直角三角形;③若AB=4,连接EF,当点E为DC中点时,则△AEF的面积等于8;④AE⊥DH.
第16题图
上述结论中,所有正确结论的序号是 ②④ .
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
如图所示,将△ABC沿直线AB的方向向右平移后到达△BDE的位置.
(1)若AD=6 cm,则△ABC平移的距离为 cm;
(2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE的度数.
解:(1)3
(2)由题意,知△ABC≌△BDE,
∴∠DBE=∠CAB=50°,∠ABC=∠BDE=100°.
∴∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE=30°.
18.(本题满分10分)
如图所示,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接CD,BE.
(1)写出图中一对全等三角形 (不需证明);
(2)连接DE,若∠ADC=95°,求∠BED的大小.
解:(1)△EAB≌△DAC
(2)由(1),知△EAB≌△DAC,
∴∠AEB=∠ADC=95°.
∵∠DAE=60°,AE=AD,∴△EAD为等边三角形.
∴∠AED=60°.
∴∠BED=∠AEB-∠AED=95°-60°=35°.
19.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,点D是AB边的中点,已知AC=4,BC=6.
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形;
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.
解:(1)如图所示,△AED即为所画的图形.
(2)如图所示,由(1)知△ADE≌△BDC,
∴CD=DE,AE=BC.
∴AE-AC<2CD即BC-AC<2CD∵AC=4,BC=6,∴2<2CD<10.∴120.(本题满分10分)
如图所示是6×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.
图(1)
图(2)
请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图:
(1)在图(1)中,作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)在图(2)中,作出△BCA关于线段BC对称的△BCD.
解:(1)如图①所示,△A1B1C1即为所求.
图①
图②
(2)如图②所示,△BCD即为所求.
21.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,点E在边BC上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:BC=EF;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.
在△ABC和△AEF中,∵AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,
∴△ABC≌△AEF(SAS).∴BC=EF.
(2)解:∵AB=AE,∠ABC=65°,∴∠BAE=180°-65°×2=50°.
∴∠FAG=∠BAE=50°.
∵△ABC≌△AEF,∴∠F=∠C=28°.
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.
22.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度最小是 度;
(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
解:(1)2 y轴 120
(2)∵等边三角形AOC可绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB,∴OA=OD.
∵∠AOC=∠BOD=60°,∴∠DOC=60°,
即OE为等腰三角形AOD的顶角的平分线.
∴OE⊥AD.∴∠AEO=90°.
23.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状,并说明理由.
题图
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
解图
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)三角形的形状为等腰直角三角形.理由如下:如图所示,
∵OB=OA1==,A1B==,
∴OB2+O=A1B2.∴△OA1B为等腰直角三角形.
24.(本题满分12分)
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(-3,0),C(x,y).
(1)若x=-2,y=3,则△ABC的面积为 ;
(2)如图所示,若顶点C(x,y)位于第二象限,且CB∥y轴,AC与y轴相交于点E(0,1),△ABC沿x轴正半轴平移得到△FOD,且△FOD与△ABC重叠部分为△AOE,求阴影部分的面积;
(3)若点C到y轴的距离为4,点P(0,5),S△ABC=2S△ABP,求点C的坐标.
解:(1)6
(2)∵E(0,1),∴OE=OA=1.∴△AOE是等腰直角三角形.
∵CB∥y轴,∴△ABC是等腰直角三角形.
∴BC=AB=4.∴y=4.
∴S阴影=S梯形BOEC=×3×(4+1)=.
(3)由题意,得2S△ABP=2××4×5=20.
当点C在y轴的左侧时,设点C(-4,y1),
S△ABC=×4×|y1|=20,解得y1=±10,
此时,点C的坐标为(-4,10)或(-4,-10);
当点C在y轴的右侧时,设点C(4,y2),S△ABC=×4×|y2|=20,
解得y2=±10,此时,点C的坐标为(4,10)或(4,-10).
综上所述,点C的坐标为(-4,10)或(-4,-10)或(4,10)或(4,-10).
25.(本题满分12分)
综合与实践
[问题情境]活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图(1)的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°<α<100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
[特例分析](1)如图(2)所示,当旋转到AD⊥BC时,旋转角α的度数为 ;
[探究规律](2)如图(3)所示,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论.
[拓展延伸](3)①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数.
②在图(3)中,作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数.
解:(1)60°
(2)证明如下:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN.
在△BAM和△EAN中,
∵AB=AE,∠BAM=∠EAN,∠B=∠E,
∴△BAM≌△EAN(ASA).∴AM=AN.
(3)①α=30°或75°.②α=60°.第三章 图形的平移与旋转
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列现象中,不属于平移的是( )
A.滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B.时针的走动
C.商场自动扶梯上顾客的升降运动
D.火车在笔直的铁轨上行驶
2.下列数学符号中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(2024贵州模拟)在平面直角坐标系中,若A,B两点的坐标分别是(-5,4),(3,1),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点C,则点A,C关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
4.如图所示,把△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′,旋转后点A与点A′重合,点B与点B′重合,点C与点C′重合,则下列结论中,不一定正确的是( )
A.OA=OA′ B.∠AOA′=∠BOB′
C.OB=OA D.△ABC≌△A′B′C′
第4题图
5.已知点A(-1,a),B(b,2)关于原点对称,则a+b的值是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.如图所示,有a,b,c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线( )
第6题图
A. a户最长 B.b户最长
C.c户最长 D.一样长
7.“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳能,要使接收太阳能最多,就要使光线垂直照射在太阳光板上.现在太阳光如图所示照射,当接收太阳能最多时,太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度是( )
第7题图
A.46° B.44° C.36° D.54°
8.如图所示,在方格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是( )
A.把△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移2格
B.把△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移5格
C.把△ABC向下平移4格,再绕点C逆时针旋转180°
D.把△ABC向下平移5格,再绕点C顺时针旋转180°
第8题图
9.如图所示,将△ABC沿BC方向向右平移到△A′B′C′的位置,连接AA′.已知△ABC的周长为22 cm,四边形ABC′A′的周长为 34 cm,则这次平移的距离为( )
第9题图
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
10.如图所示,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转某个角度到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠CAB′的度数是( )
第10题图
A.30° B.35° C.40° D.50°
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,若点A′恰好在边BC上,则点B′与点B之间的距离为( )
第11题图
A.6 B.6
C.6 D.12
12.如图所示,在4×4的网格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.现要在这张网格纸中找出一格点作为旋转中心,绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上,若旋转前后的两个三角形构成中心对称图形,则满足条件的旋转中心有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.20个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图所示,将点M绕点O顺时针旋转90°得到点N,则点N在 .
第13题图
14.如图所示,△ABC经过平移得到△A′B′C′,连接BB′,CC′,若BB′=1.2 cm,则CC′= cm.
第14题图
15.已知点P(2m-1,-m+3)关于原点的对称点在第三象限,则m的取值范围是 .
16.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,点E在DC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后与△ABF重合,再将△ABF沿BC向右平移后与△DCH重合.给出四个结论:①旋转的角度为90°;②连接EF,则△AEF是等腰直角三角形;③若AB=4,连接EF,当点E为DC中点时,则△AEF的面积等于8;④AE⊥DH.
第16题图
上述结论中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
如图所示,将△ABC沿直线AB的方向向右平移后到达△BDE的位置.
(1)若AD=6 cm,则△ABC平移的距离为 cm;
(2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE的度数.
18.(本题满分10分)
如图所示,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接CD,BE.
(1)写出图中一对全等三角形 (不需证明);
(2)连接DE,若∠ADC=95°,求∠BED的大小.
19.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,点D是AB边的中点,已知AC=4,BC=6.
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形;
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.
20.(本题满分10分)
如图所示是6×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.
图(1)
图(2)
请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图:
(1)在图(1)中,作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)在图(2)中,作出△BCA关于线段BC对称的△BCD.
21.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,点E在边BC上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:BC=EF;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
22.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度最小是 度;
(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
23.(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状,并说明理由.
题图
24.(本题满分12分)
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(-3,0),C(x,y).
(1)若x=-2,y=3,则△ABC的面积为 ;
(2)如图所示,若顶点C(x,y)位于第二象限,且CB∥y轴,AC与y轴相交于点E(0,1),△ABC沿x轴正半轴平移得到△FOD,且△FOD与△ABC重叠部分为△AOE,求阴影部分的面积;
(3)若点C到y轴的距离为4,点P(0,5),S△ABC=2S△ABP,求点C的坐标.
25.(本题满分12分)
综合与实践
[问题情境]活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图(1)的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°<α<100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
[特例分析](1)如图(2)所示,当旋转到AD⊥BC时,旋转角α的度数为 ;
[探究规律](2)如图(3)所示,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论.
[拓展延伸](3)①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数.
②在图(3)中,作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数.