第四章 因式分解
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(C)
A.2a-1=a(2-)
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2-2x+1=(x-1)2
D.x2+6x+8=x(x+6)+8
2.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是(C)
A.a2b B.-4a2b2
C.4a2b D.-a2b
3.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是(D)
A.x2-x B.x2+x+1
C.x2+y2 D.x2-1
4.下列多项式中,能用完全平方式分解因式的是(B)
A.x2-x+1 B.1-2xy+x2y2
C.a2-a+ D.a2+2ab-b2
5.将下列多项式因式分解,结果中不含因式x-1的是(A)
A.x2+2x+1 B.x2-1
C.x2-2x+1 D.x(x-3)+(3-x)
6.将-a2b-ab2提公因式后,另一个因式是(A)
A.a+2b B.-a+2b
C.-a-b D.a-2b
7.下列因式分解不正确的是(A)
A.m2-4=(m-2)2
B.m2+4m=m(m+4)
C.m2+6m+9=(m+3)2
D.-2y2+6y=-2y(y-3)
8.若a+b=3,则a2-b2+6b的值为(C)
A.3 B.6 C.9 D.12
9.如果x2-4x+a2是一个完全平方式,那么a的值是(D)
A.4 B.2
C.±4 D.±2
10.如图(1)所示,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形[如图(2)所示],通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是(D)
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
11.当多项式x2+2x+1取得最小值时,x的值是(A)
A.-1 B.0 C.1 D.2
12.已知a,b,c是三角形的三边长,那么代数式(a-b)2-c2的值(A)
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不能确定
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.分解因式:4x2-y2= (2x+y)(2x-y) .
14.一个长方形的花圃,面积是(x2-4)m2(x>2),其长为(x+2)m,则它的宽为 (x-2) m.
15.通过计算几何图形的面积,可得到一些代数恒等式,如图所示,我们可以得到恒等式:x2+px+qx+pq= (x+p)(x+q) .
16.在日常生活中,如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解法”产生的密码,方便记忆.如:对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=
18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3,用上述方法产生的密码可以是 273024
(答案不唯一) (写出一个即可).
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
因式分解:
(1)9x3-18x2+9x;
(2)x2(a-b)+4(b-a);
(3)4x2-16xy+16y2;
(4)(m2+3m)2-(3m+9)2.
解:(1)9x3-18x2+9x
=9x(x2-2x+1)
=9x(x-1)2.
(2)x2(a-b)+4(b-a)
=x2(a-b)-4(a-b)
=(a-b)(x2-4)
=(a-b)(x+2)(x-2).
(3)4x2-16xy+16y2
=4(x2-4xy+4y2)
=4(x-2y)2.
(4)(m2+3m)2-(3m+9)2
=(m2+3m+3m+9)(m2+3m-3m-9)
=(m2+6m+9)(m2-9)
=(m+3)2(m+3)(m-3)
=(m+3)3(m-3).
18.(本题满分10分)
已知A=3x2-12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+1)(x+3)+1,则多项式A,B,C是否有公因式 若有,求出公因式;若没有,请说明理由.
解:多项式A,B,C有公因式.
∵A=3x2-12
=3(x2-4)
=3(x+2)(x-2),
B=5x2y3+10xy3=5xy3(x+2),
C=(x+1)(x+3)+1
=x2+4x+3+1
=x2+4x+4
=(x+2)2,
∴多项式A,B,C的公因式是(x+2).
19.(本题满分10分)
不解方程组,求7b(a-3b)2-2(3b-a)3的值.
解:7b(a-3b)2-2(3b-a)3
=7b(a-3b)2+2(a-3b)3
=(a-3b)2(7b+2a-6b)
=(a-3b)2(2a+b).
∵
∴原式=12×6=6.
20.(本题满分10分)
请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行因式分解.
4a2,(x+y)2,1,9b2.
解:答案不唯一.例如:
4a2-(x+y)2
=(2a)2-(x+y)2
=(2a-x-y)(2a+x+y);
4a2-1
=(2a)2-1
=(2a-1)(2a+1);
4a2-9b2
=(2a)2-(3b)2
=(2a+3b)(2a-3b).
21.(本题满分10分)
利用因式分解计算:
(1)2012-1992;
(2)2022+202×196+982.
解:(1)2012-1992
=(201+199)(201-199)
=400×2
=800.
(2)2022+202×196+982
=2022+2×202×98+982
=(202+98)2
=3002
=90 000.
22.(本题满分10分)
先因式分解,再求值:已知9ax2-12axy+4ay2,其中a=12.8,x=6,y=4.
解:9ax2-12axy+4ay2
=a(9x2-12xy+4y2)
=a(3x-2y)2.
当a=12.8,x=6,y=4时,
原式=12.8×(3×6-2×4)2
=12.8×100
=1 280.
23.(本题满分12分)
阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)填空:a2-4a+4= ;
(2)若a2+2a+b2-6b+10=0,求a+b的值;
(3)若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,试判断△ABC的形状.
解:(1)(a-2)2
(2)a2+2a+b2-6b+10
=a2+2a+1+b2-6b+9
=(a+1)2+(b-3)2
=0,
∴a=-1,b=3.
∴a+b=-1+3=2.
(3)∵a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4
=a2-2ab+b2+c2-2c+1+3(b2-2b+1)
=(a-b)2+(c-1)2+3(b-1)2
=0,
∴a=b=c=1.
∴△ABC为等边三角形.
24.(本题满分12分)
探究活动:
(1)如图(1)所示,可以求出阴影部分的面积是 ;(写成两数平方差的形式)
(2)如图(2)所示,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,面积是 ;(写成多项式乘法的形式)
(3)比较图(1),(2)中阴影部分的面积,可以得到等式: .
知识应用:
(1)计算:(a+b-2c)(a+b+2c);
(2)若4x2-9y2=15,4x+6y=10,求2x-3y的值.
图(1)
图(2)
解:探究活动:
(1)a2-b2
(2)(a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a-b)=a2-b2(等号左右两边可互换)
知识应用:
(1)(a+b-2c)(a+b+2c)
=(a+b)2-(2c)2
=a2+2ab+b2-4c2.
(2)∵4x+6y=10,∴2x+3y=5.
∵4x2-9y2=15,
∴(2x+3y)(2x-3y)=15,即5(2x-3y)=15.
∴2x-3y=3.
25.(本题满分12分)
阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时,换元法是一种常用的方法,下面是某同学用换元法对多项式(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程.
解:设a2-2a=m,则
(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4
=(m-1)(m+3)+4(第一步)
=m2+2m+1(第二步)
=(m+1)2(第三步)
=(第四步).
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了( )
A.平方差公式
B.两数和的完全平方式
C.两数差的完全平方式
(2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求,多项式(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4因式分解的最后结果为 .
(3)请你用换元法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解.
解:(1)B
(2)(a-1)4
(3)设x2-4x=n,则
(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49
=(n-3)(n+11)+49
=n2+8n+16
=(n+4)2
=(x2-4x+4)2
=(x-2)4.第四章 因式分解
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.2a-1=a(2-)
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2-2x+1=(x-1)2
D.x2+6x+8=x(x+6)+8
2.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是( )
A.a2b B.-4a2b2
C.4a2b D.-a2b
3.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2-x B.x2+x+1
C.x2+y2 D.x2-1
4.下列多项式中,能用完全平方式分解因式的是( )
A.x2-x+1 B.1-2xy+x2y2
C.a2-a+ D.a2+2ab-b2
5.将下列多项式因式分解,结果中不含因式x-1的是( )
A.x2+2x+1 B.x2-1
C.x2-2x+1 D.x(x-3)+(3-x)
6.将-a2b-ab2提公因式后,另一个因式是( )
A.a+2b B.-a+2b
C.-a-b D.a-2b
7.下列因式分解不正确的是( )
A.m2-4=(m-2)2
B.m2+4m=m(m+4)
C.m2+6m+9=(m+3)2
D.-2y2+6y=-2y(y-3)
8.若a+b=3,则a2-b2+6b的值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
9.如果x2-4x+a2是一个完全平方式,那么a的值是( )
A.4 B.2
C.±4 D.±2
10.如图(1)所示,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形[如图(2)所示],通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
11.当多项式x2+2x+1取得最小值时,x的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
12.已知a,b,c是三角形的三边长,那么代数式(a-b)2-c2的值( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不能确定
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.分解因式:4x2-y2= .
14.一个长方形的花圃,面积是(x2-4)m2(x>2),其长为(x+2)m,则它的宽为 m.
15.通过计算几何图形的面积,可得到一些代数恒等式,如图所示,我们可以得到恒等式:x2+px+qx+pq= .
16.在日常生活中,如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解法”产生的密码,方便记忆.如:对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=
18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3,用上述方法产生的密码可以是 (写出一个即可).
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
因式分解:
(1)9x3-18x2+9x;
(2)x2(a-b)+4(b-a);
(3)4x2-16xy+16y2;
(4)(m2+3m)2-(3m+9)2.
18.(本题满分10分)
已知A=3x2-12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+1)(x+3)+1,则多项式A,B,C是否有公因式 若有,求出公因式;若没有,请说明理由.
19.(本题满分10分)
不解方程组,求7b(a-3b)2-2(3b-a)3的值.
20.(本题满分10分)
请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行因式分解.
4a2,(x+y)2,1,9b2.
21.(本题满分10分)
利用因式分解计算:
(1)2012-1992;
(2)2022+202×196+982.
22.(本题满分10分)
先因式分解,再求值:已知9ax2-12axy+4ay2,其中a=12.8,x=6,y=4.
23.(本题满分12分)
阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)填空:a2-4a+4= ;
(2)若a2+2a+b2-6b+10=0,求a+b的值;
(3)若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,试判断△ABC的形状.
24.(本题满分12分)
探究活动:
(1)如图(1)所示,可以求出阴影部分的面积是 ;(写成两数平方差的形式)
(2)如图(2)所示,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,面积是 ;(写成多项式乘法的形式)
(3)比较图(1),(2)中阴影部分的面积,可以得到等式: .
知识应用:
(1)计算:(a+b-2c)(a+b+2c);
(2)若4x2-9y2=15,4x+6y=10,求2x-3y的值.
图(1)
图(2)
25.(本题满分12分)
阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时,换元法是一种常用的方法,下面是某同学用换元法对多项式(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程.
解:设a2-2a=m,则
(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4
=(m-1)(m+3)+4(第一步)
=m2+2m+1(第二步)
=(m+1)2(第三步)
=(第四步).
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了( )
A.平方差公式
B.两数和的完全平方式
C.两数差的完全平方式
(2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求,多项式(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4因式分解的最后结果为 .
(3)请你用换元法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解.
