第五章 分式与分式方程
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列各式中是分式的是(C)
A. B.x-1
C. D.
2.当x=-2时,分式的值是(A)
A.3 B.-3 C.2 D.-2
3.要使分式有意义,x应满足(B)
A.x≠3 B.x≠-3 C.x≠2 D.x≠-2
4.下列分式中,不是最简分式的是(D)
A. B. C. D.
5.若分式的值等于0,则x的值为(A)
A.2 B.-2 C.1 D.0
6.分式与的最简公分母是(A)
A.2m+2 B.m+2 C.m+1 D.m2-1
7.根据分式的基本性质,分式可变形为(D)
A. B.-
C. D.-
8.某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木,该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
9.对于分式的值,下列说法一定正确的是(D)
A.不可能为0 B.比1大
C.可能为2 D.比m大
10.有这样一道有趣的题:两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市,两人所带鸡蛋个数不等,但卖的钱数相同,第一个农妇说:“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个铜板”,第二个农妇答道:“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个铜板”.此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是(B)
A.个铜板 B.个铜板
C.个铜板 D.个铜板
11.若-=2,则的值为(D)
A.-1 B.1
C.- D.
12.若分式方程(x+1)(x-1)-=1有增根,则它的增根是(B)
A.x=0 B.x=1
C.x=-1 D.x=1或-1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024六盘水二模)若=0,则x= 0 .
14.若2a-b=0,且b≠0,则分式的值为 -3 .
15.体育测试中,小进和小俊进行800 m跑步测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s,则所列方程为 -=40 .
16.已知一列分式:,-,,-,,-,….观察其规律,知第n个分式是 (-1)n+1· .
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
解下列方程:
(1)-1=;
(2)=-3.
解:(1)方程两边都乘x-1,得3-(x-1)=-1,
解这个方程,得x=5.
经检验,x=5是原方程的根.
∴这个方程的解为x=5.
(2)方程两边都乘x-2,得
1=x-1-3(x-2),
解这个方程,得x=2.
经检验,x=2是增根,∴原方程无解.
18.(本题满分12分)
计算:
(1)-; (2)(-)÷÷;
(3)(-)÷.
解:(1)-
=-
=
=
=.
(2)(-)÷÷
=-×(-)×a3b3
=a8b2.
(3)(-)÷
=·
=·
=.
19.(本题满分10分)
在解分式方程=-2时,小明的解法如下:
解:方程两边都乘x-3,得2-x=-1-2.①
移项,得-x=-1-2-2.②
解得x=5.③
(1)你认为小明哪一步开始出现了错误 (填序号),产生错误的原因是 .
(2)小明的解题步骤完善吗 如果不完善,缺少哪一步
(3)请你解这个方程.
解:(1)① -2没有乘最简公分母
(2)小明的解题步骤不完善,缺少检验.
(3)去分母,得2-x=-1-2(x-3).
去括号,得2-x=-1-2x+6.
移项、合并同类项,得x=3.
经检验,x=3是增根,
∴原分式方程无解.
20.(本题满分10分)
(2024达州)先化简:(-)÷,再从-2,-1,0,1,2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解:(-)÷
=·
=·
=,
∵x-2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0,
∴x≠-2,-1,0,2,则x可以取1.
当x=1时,原式==2.
21.(本题满分10分)
已知P=·-.
(1)化简P;
(2)若a,2,3是△ABC的三边长,且a为整数,求P的值.
解:(1)P=·-
=·+
=+
=
=.
(2)由题意,知1
∴P===1.
22.(本题满分10分)
已知关于x的方程:-=1.
(1)当a=3时,求这个方程的解;
(2)若这个方程有增根,求a的值.
解:(1)当a=3时,原方程为-=1,
方程两边都乘(x-1),得3x+1+2=x-1,解得x=-2.
经检验,x=-2是原分式方程的根.
∴这个方程的解为x=-2.
(2)方程两边都乘(x-1),得ax+1+2=x-1,
即(a-1)x=-4.
若原方程有增根,则x-1=0,即增根为x=1.
将x=1代入整式方程,得a-1=-4,解得a=-3.
∴a的值为-3.
23.(本题满分12分)
(2024清镇一模)2023年12月18日23时59分,甘肃省积石山县发生6.2级地震,某救援队启动一级应急响应,组织一支队伍赶赴灾区参与救援.该队伍原计划要完成 3 000 m的公路疏通,实际工作时每小时的工作效率比原计划提升25%,设原计划每小时疏通公路 x m.解答下列问题:
(1)实际每小时疏通公路 m(用含x的代数式表示);
(2)实际工作时提前2小时完成既定任务,求实际每小时疏通公路的长度.
解:(1)1.25x
(2)根据题意,得-=2,解得x=300.
经检验,x=300是原方程的解,且符合题意,
∴1.25x=300×1.25=375.
答:实际每小时疏通公路375 m.
24.(本题满分12分)
阅读材料:解方程:-=0.
解:设y=,则原方程化为y-=0,
方程两边同时乘y,得y2-4=0,解得y=±2.
经检验,y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时,=2,解得x=-1;
当y=-2时,=-2,解得x=.
经检验,x=-1,x=都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题:
(1)对于方程-=4,若设 =y,则原方程可化为 ,原方程的解为 ;
(2)模仿上述换元法解方程:
--1=0.
解:(1)y-=4 x=或x=-
(2)原方程化为-=0.
设y=,则原方程化为y-=0,
方程两边同时乘y,得y2-1=0,解得y=±1.
经检验,y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时,=1,该方程无解;
当y=-1时,=-1,解得x=-.
经检验,x=-是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-.
25.(本题满分12分)
某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场,就用 4 000元购进一批这种T恤衫,面市后果然供不应求.商场又用8 800元购进了第二批这种T恤衫,所购数量是第一批购进量的 2倍,但每件的进价贵了
4元.
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,最后缺码的 40件 T恤衫按7折优惠售出,要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件T恤衫的标价至少是多少元
解:(1)设该商场购进第一批T恤衫每件的进价为x元,第二批T恤衫每件的进价为(x+4)元.
由题意,得×2=,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的根且符合题意,
则x+4=44.
∴该商场购进第一批T恤衫每件的进价为 40元,第二批T恤衫每件的进价为44元.
(2)两批T恤衫的数量为×3=300.
设每件T恤衫的标价是y元,由题意,得
(300-40)y+40×0.7y≥(4 000+8 800)×(1+80%),
解得y≥80.
∴每件T恤衫的标价至少是80元.
第五章 分式与分式方程
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.下列各式中是分式的是( )
A. B.x-1
C. D.
2.当x=-2时,分式的值是( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
3.要使分式有意义,x应满足( )
A.x≠3 B.x≠-3 C.x≠2 D.x≠-2
4.下列分式中,不是最简分式的是( )
A. B. C. D.
5.若分式的值等于0,则x的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.0
6.分式与的最简公分母是( )
A.2m+2 B.m+2 C.m+1 D.m2-1
7.根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B.-
C. D.-
8.某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木,该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
9.对于分式的值,下列说法一定正确的是( )
A.不可能为0 B.比1大
C.可能为2 D.比m大
10.有这样一道有趣的题:两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市,两人所带鸡蛋个数不等,但卖的钱数相同,第一个农妇说:“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个铜板”,第二个农妇答道:“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个铜板”.此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是( )
A.个铜板 B.个铜板
C.个铜板 D.个铜板
11.若-=2,则的值为( )
A.-1 B.1
C.- D.
12.若分式方程(x+1)(x-1)-=1有增根,则它的增根是( )
A.x=0 B.x=1
C.x=-1 D.x=1或-1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024六盘水二模)若=0,则x= .
14.若2a-b=0,且b≠0,则分式的值为 .
15.体育测试中,小进和小俊进行800 m跑步测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s,则所列方程为 .
16.已知一列分式:,-,,-,,-,….观察其规律,知第n个分式是 .
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
解下列方程:
(1)-1=;
(2)=-3.
18.(本题满分12分)
计算:
(1)-; (2)(-)÷÷;
(3)(-)÷.
19.(本题满分10分)
在解分式方程=-2时,小明的解法如下:
解:方程两边都乘x-3,得2-x=-1-2.①
移项,得-x=-1-2-2.②
解得x=5.③
(1)你认为小明哪一步开始出现了错误 (填序号),产生错误的原因是 .
(2)小明的解题步骤完善吗 如果不完善,缺少哪一步
(3)请你解这个方程.
20.(本题满分10分)
(2024达州)先化简:(-)÷,再从-2,-1,0,1,2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
21.(本题满分10分)
已知P=·-.
(1)化简P;
(2)若a,2,3是△ABC的三边长,且a为整数,求P的值.
22.(本题满分10分)
已知关于x的方程:-=1.
(1)当a=3时,求这个方程的解;
(2)若这个方程有增根,求a的值.
23.(本题满分12分)
(2024清镇一模)2023年12月18日23时59分,甘肃省积石山县发生6.2级地震,某救援队启动一级应急响应,组织一支队伍赶赴灾区参与救援.该队伍原计划要完成 3 000 m的公路疏通,实际工作时每小时的工作效率比原计划提升25%,设原计划每小时疏通公路 x m.解答下列问题:
(1)实际每小时疏通公路 m(用含x的代数式表示);
(2)实际工作时提前2小时完成既定任务,求实际每小时疏通公路的长度.
24.(本题满分12分)
阅读材料:解方程:-=0.
解:设y=,则原方程化为y-=0,
方程两边同时乘y,得y2-4=0,解得y=±2.
经检验,y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时,=2,解得x=-1;
当y=-2时,=-2,解得x=.
经检验,x=-1,x=都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题:
(1)对于方程-=4,若设 =y,则原方程可化为 ,原方程的解为 ;
(2)模仿上述换元法解方程:
--1=0.
25.(本题满分12分)
某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场,就用 4 000元购进一批这种T恤衫,面市后果然供不应求.商场又用8 800元购进了第二批这种T恤衫,所购数量是第一批购进量的 2倍,但每件的进价贵了
4元.
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,最后缺码的 40件 T恤衫按7折优惠售出,要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件T恤衫的标价至少是多少元
