第一章 三角形的证明
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.如图所示,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=3,则CD等于( )
A.10 B.5 C.4 D.3
第1题图
2.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.等边三角形的三个角相等
D.在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和
3.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时,第一步应假设( )
A.a=0,b=0 B.a≠0,b≠0
C.a≠0,b=0 D.a=0,b≠0
4.如图所示,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD 和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是( )
第4题图
A.AD=CB B.∠A=∠C
C.BD=DB D.AB=CD
5.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
第5题图
A.48° B.40° C.30° D.24°
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=6,BC=8,则CD等于( )
第6题图
A.1 B.2 C.3 D.4.8
7.已知△ABC(AC
A
B
C
D
8.“三等分角”大约是在公元前4世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,
OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
9.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD,
∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为( )
A.4 B.6 C.3 D.12
第9题图
10.如图所示,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
第10题图
A.(24-12) m B.(24-8) m
C.(24-6) m D.(24-4) m
11.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,AE∥BC,∠AEB=120°,AB=8,则点A到BC的距离是( )
第11题图
A.4 B.4
C.5 D.6
12.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的是( )
第12题图
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为 .
第13题图
14.如图所示,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB= .
第14题图
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为 .
第15题图
16.如图所示,边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是 .
第16题图
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)(2024重庆)
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,求AD的长度.
18.(本题满分10分)
如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,请你利用反证法证明:∠DAB是一个锐角.
19.(本题满分10分)
如图所示,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走到D处,线段CD=20 m,测得∠ADB=30°,求树AB的
高度.
20.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC.
21.(本题满分10分)
如图所示,△ABC为等边三角形,DE∥AC,点O为线段BC上一点,DO的延长线与AC的延长线交于点F,DO=FO.
(1)求证:△BDE是等边三角形;
(2)若AC=7,FC=3,求OC的长.
22.(本题满分12分)
在△ABC中,AC(1)在图(1)中用尺规作图:①作边BA的垂直平分线交BC于点P(要求:保留作图痕迹,不写作法);
②连接AP,求证:∠APC=2∠B;
(2)如图(2)所示,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
23.(本题满分12分)
如图所示,笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A,B,且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修状态,为方便游客决定在河边新建一个漂流点C(点A,B,C在同一条直线上),并新建一条路GC,测得BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km.
(1)判断△BCG的形状,并说明理由;
(2)求原路线GA的长.
24.(本题满分12分)
如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.
(1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形;
(2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.
25.(本题满分12分)
综合与实践
(1)问题情境:如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,且 AE=EC,AD与CE交于点F.图中与△ABD全等的三角形是 ,与△AEF全等的三角形是 ;
(2)问题探究:如图(2)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分
∠ABC,DE⊥BC,垂足为E.探究线段BC,AB,AD之间的关系,并证明;
(3)问题解决:如图(3)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CE平分
∠ACB,BD⊥CE交CE的延长线于点D,则线段CE与BD之间的数量关系为 . 第一章 三角形的证明
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分)
1.如图所示,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=3,则CD等于(D)
A.10 B.5 C.4 D.3
第1题图
2.下列命题的逆命题是假命题的是(A)
A.全等三角形的对应角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.等边三角形的三个角相等
D.在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和
3.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时,第一步应假设(B)
A.a=0,b=0 B.a≠0,b≠0
C.a≠0,b=0 D.a=0,b≠0
4.如图所示,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD 和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是(A)
第4题图
A.AD=CB B.∠A=∠C
C.BD=DB D.AB=CD
5.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为(D)
第5题图
A.48° B.40° C.30° D.24°
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=6,BC=8,则CD等于(D)
第6题图
A.1 B.2 C.3 D.4.8
7.已知△ABC(ACA
B
C
D
8.“三等分角”大约是在公元前4世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,
OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(D)
A.60° B.65° C.75° D.80°
9.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=6,连接BD,BD⊥CD,
∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为(B)
A.4 B.6 C.3 D.12
第9题图
10.如图所示,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)
第10题图
A.(24-12) m B.(24-8) m
C.(24-6) m D.(24-4) m
11.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,AE∥BC,∠AEB=120°,AB=8,则点A到BC的距离是(A)
第11题图
A.4 B.4
C.5 D.6
12.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的是(A)
第12题图
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为 9 .
第13题图
14.如图所示,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB= 40°或20°或70°或100° .
第14题图
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为 70° .
第15题图
16.如图所示,边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是 1+ .
第16题图
三、解答题(本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)(2024重庆)
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,求AD的长度.
解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°.
∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°.
∴∠BDC=∠C.∴BD=BC=2.
∵∠A=36°,∠ABD=36°,∴∠A=∠ABD.
∴AD=BD=2.
18.(本题满分10分)
如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,请你利用反证法证明:∠DAB是一个锐角.
证明:假设∠DAB是钝角或直角,
∵AB=AC,AD是底边BC上的高,∴∠BAC=2∠DAB.
∵∠DAB是钝角或直角,
∴2∠DAB≥180°,不符合三角形内角和定理.
∴假设不成立.∴∠DAB是一个锐角.
19.(本题满分10分)
如图所示,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走到D处,线段CD=20 m,测得∠ADB=30°,求树AB的
高度.
解:∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°.
∴∠ACB=∠CAD.∴AD=CD=20 m.
又∵∠ABD=90°,∠ADB=30°,∴AB=AD=10 m.
∴树AB的高度为10 m.
20.(本题满分10分)
如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=20,AC=16,DE=6,求S△ABC.
解:(1)∵∠B=40°,∠C=76°,
∴∠BAC=180°-40°-76°=64°.
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAE=∠BAC=32°.
∵DE⊥AB,∴∠EDA=90°-∠DAE=58°.
(2)如图所示,过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB,
∴DF=DE=6.
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=×16×6+×20×6=108.
21.(本题满分10分)
如图所示,△ABC为等边三角形,DE∥AC,点O为线段BC上一点,DO的延长线与AC的延长线交于点F,DO=FO.
(1)求证:△BDE是等边三角形;
(2)若AC=7,FC=3,求OC的长.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB.
∵DE∥AC,∴∠A=∠BDE,∠ACB=∠DEB.
∴∠B=∠BDE=∠DEB.∴△BDE是等边三角形.
(2)解:∵DE∥AC,∴∠EDO=∠CFO.
在△DOE和△FOC中,
∵∠EDO=∠CFO,DO=FO,∠DOE=∠FOC,
∴△DOE≌△FOC(ASA).∴DE=CF,EO=CO.
∵△ABC,△BDE均是等边三角形,
∴BC=AC=7,BE=DE=CF=3.
∴EC=BC-BE=7-3=4.
∴OC=EC=2.
22.(本题满分12分)
在△ABC中,AC(1)在图(1)中用尺规作图:①作边BA的垂直平分线交BC于点P(要求:保留作图痕迹,不写作法);
②连接AP,求证:∠APC=2∠B;
(2)如图(2)所示,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
(1)①解:如图所示.
②证明:如图所示,∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,
∴PA=PB.∴∠B=∠BAP.
∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.
(2)解:根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA.
∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BAQ=2∠B.
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°.
∴∠B=36°.
23.(本题满分12分)
如图所示,笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A,B,且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修状态,为方便游客决定在河边新建一个漂流点C(点A,B,C在同一条直线上),并新建一条路GC,测得BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km.
(1)判断△BCG的形状,并说明理由;
(2)求原路线GA的长.
解:(1)△BCG是直角三角形.理由如下:
∵BG=5 km,GC=4 km,BC=3 km,∴42+32=52.
∴GC2+BC2=BG2.∴△BCG是直角三角形.
(2)∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离,
∴AG=AB.
由(1)知△ACG是直角三角形.
设AG=AB=x km,则AC=(x-3)km.
在Rt△ACG中,AC=(x-3)km,GA=x km,GC=4 km,
∴(x-3)2+42=x2,解得x=,
∴原路线GA的长为 km.
24.(本题满分12分)
如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.
(1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形;
(2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.
(1)证明:∵AB=AC,∠B=30°,∴∠B=∠C=30°.
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵∠BAD=45°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°.
∴∠ADC=∠CAD.
∴AC=CD.∴△ACD为等腰三角形.
(2)解:有两种情况:
①当∠ADC=90°时,∠BAD=∠ADC-∠B=90°-30°=60°;
②当∠CAD=90°时,∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°.
综上所述,∠BAD的度数是60°或30°.
25.(本题满分12分)
综合与实践
(1)问题情境:如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,且 AE=EC,AD与CE交于点F.图中与△ABD全等的三角形是 ,与△AEF全等的三角形是 ;
(2)问题探究:如图(2)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分
∠ABC,DE⊥BC,垂足为E.探究线段BC,AB,AD之间的关系,并证明;
(3)问题解决:如图(3)所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CE平分
∠ACB,BD⊥CE交CE的延长线于点D,则线段CE与BD之间的数量关系为 .
解:(1)△ACD △CEB
(2)线段BC,AB,AD之间的关系为BC=AB+AD.证明如下:
∵BD平分∠ABC,∠A=90°,DE⊥BC,
∴AD=ED.
又∵BD=BD,∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL).
∴AB=BE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵∠A=90°,∴∠C=×90°=45°.
∴∠CDE=90°-45°=45°.
∴DE=EC.∴AD=EC.∴BC=BE+EC=AB+AD.
(3)CE=2BD