第十八章 平行四边形 评价卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.如图所示,将平行四边形ABCD的一边延长至点E,若∠A=120°,则∠1等于(B)
A.120° B.60° C.50° D.40°
2.如图所示,在 ABCD中,下列说法一定正确的是(C)
A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB=BC
3.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(D)
A.当∠ABC=90°时, ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时, ABCD是菱形
C.当 ABCD是正方形时,AC=BD
D.当 ABCD是菱形时,AB=AC
4.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°,
AB=2.5 cm,则对角线BD的长为(C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
5.已知平行四边形ABCD的周长为20,且AB∶BC=2∶3,则CD的长为(A)
A.4 B.5 C.6 D.8
6.如图所示,在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD的中点,则∠CPQ的度数为(C)
A.50° B.60° C.45° D.70°
7.如图所示,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,点M为梯子AB的中点,当
梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中OM的变化规律是(B)
A.变小 B.不变
C.变大 D.先变小再变大
8.在菱形ABCD中,AC=CB=4,则菱形ABCD的面积为(D)
A.16 B.4 C.8 D.8
9.如图所示,将一张矩形纸片沿虚线对折两次,当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时,已知AB=4 cm,则剪下来的图形的周长为(D)
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
10.如图所示,在Rt△ABC中,AB=4,点D是斜边BC的中点,以AD为边作正方形ADEF.若正方形ADEF的面积为16,则△ABC的周长为(B)
A.4 B.12+4 C.12 D.24
11.如图所示,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′处.若AB=6,BC=9,则BF的长为(A)
A.4 B.3 C.4.5 D.5
12.如图所示,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°.已知AD=6,DF=2,则△AEF的面积为(C)
A.6 B.12 C.15 D.30
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=OB,则
∠AOB的度数是 60° .
14.在学校科技节活动中,聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具.他先活动学具成为图(1)所示菱形,并测得∠B=120°,接着活动学具成为图(2)所示正方形,并测得对角线AC=8 cm,则图(1)中对角线AC的长为 4 cm.
15.如图所示,平行四边形ABCD的面积为10,点P在对角线AC上,点E,F分别在AB,AD上,且PE∥BC,PF∥CD,连接EF,则图中阴影部分的面积为 5 .
16.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,N是边BC上一点,M是边AB上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AC⊥CD,AE⊥BC,若∠EAC=50°,求∠D的度数.
解:∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°.
∵∠EAC=50°,∴∠BCA=40°.
∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.
∴∠BCD=130°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=50°.
18.(10分)已知:如图所示,在四边形 ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O.求证:O是BD的
中点.
证明:连接FB,DE.
∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC.
又AF=CE,
∴FD=AD-AF=BC-CE=BE.
∴FD∥BE且FD=BE.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BO=OD,即O是BD的中点.
19.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使 CF=BC.若AB=12,求EF的长.
解:如图所示,连接CD.
∵D是边AB的中点,
∴CD是Rt△ABC斜边上的中线.
∴CD=AB=6.
又E是边AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC,DE=BC.
又CF=BC,
∴DE=CF.
∴四边形CDEF是平行四边形.∴EF=DC=6.
20.(10分)在数学活动课上,老师出了一道关于矩形的题,让同学们
解答.
如图所示,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,且AF=CE,连接BD,DF.求证:四边形BFDE是矩形.
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路:
嘉嘉:先证明四边形BFDE是平行四边形,然后利用矩形定义即可 得证; 琪琪:先证明△ADF与△CBE全等,然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证
(1)嘉嘉的思路 ,琪琪的思路 (均选填“正确”或
“错误”);
(2)请按照你认为的正确思路进行解答.
解:(1)正确 正确
(2)选择嘉嘉思路.证明如下:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.
∵AF=CE,∴BF=DE.∴四边形DFBE是平行四边形.
又CD⊥BE,∴∠BED=90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
21.(10分)如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.求证: ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(ASA).
∴AB=AD.
∴ ABCD是菱形.
22.(12分)如图所示,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)判断△EAF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,F是CB延长线上的点,
∴AB=AD,∠ABF=∠D=90°.
在△ADE和△ABF中,
∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)解:△EAF是等腰直角三角形.理由如下:
由(1)知△ADE≌△ABF,
∴AE=AF,∠DAE=∠BAF.
∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠FAE=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=90°.
∴△AEF是等腰直角三角形.
23.(12分)如图所示,在 ABCD中,AC⊥BC,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ADEC是矩形;
(2)若AB=13,AC=12,求四边形ADEB的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AC⊥BC,∴∠ACE=∠ACB=90°.
∴∠DAC=∠ACB=90°.
∵DE∥AC,∴∠E=∠ACB=90°.
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°.
∴四边形ADEC是矩形.
(2)解:在Rt△ACB中,BC==5,在 ABCD中,AD=BC=5,在矩形ADEC中,AD=CE=5,
∴四边形ADEB的面积=·AC=×12=90.
24.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BF=DE.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AE=3,AD=4,∠DAE=90°,试判断当BE的长为多少时,四边形AECF为菱形,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解:当BE=1.4时,四边形AECF为菱形.理由如下:
如图所示,连接AC交BD于点G.
∵AE=3,AD=4,∠DAE=90°,
∴BF=DE=5.
∵四边形AECF为菱形,
∴AC⊥EF,AE=AF=3.
∴DE·AG=AE·AD.∴AG=2.4.
在Rt△AGF中,FG==1.8,
∴BE=BF-2FG=1.4.
25.(12分)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.
【建立模型】
(1)如图(1)所示,连接BE,DE.求证:BE=DE;
【模型应用】
(2)如图(2)所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,判断△FBG的形状,并说明理由;
【模型迁移】
(3)如图(3)所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,BE=BF,求证:GE=(-1)DE.
图(1)
图(2)
图(3)
(1)证明:∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°.
∵AE=AE,∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴BE=DE.
(2)解:△FBG为等腰三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠GAD=90°.
∴∠AGD+∠ADG=90°.
由(1)知△ABE≌△ADE,∴∠ADG=∠EBG.
∴∠AGD+∠EBG=90°.
∵FB⊥BE,∴∠EBF=90°.
∴∠FBG+∠EBG=90°.
∴∠AGD=∠FBG.
∵∠AGD=∠FGB,
∴∠FBG=∠FGB.
∴FG=FB.
∴△FBG是等腰三角形.
(3)证明:∵FB⊥BE,
∴∠FBE=90°.
在Rt△EBF中,BE=BF,
∴EF===BE.
由(1)知BE=DE,由(2)知FG=BF,
∴FG=BF=BE=DE.
∴GE=EF-FG=BE-DE=DE-DE=(-1)DE. 第十八章 平行四边形 评价卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.如图所示,将平行四边形ABCD的一边延长至点E,若∠A=120°,则∠1等于( )
A.120° B.60° C.50° D.40°
2.如图所示,在 ABCD中,下列说法一定正确的是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB=BC
3.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是( )
A.当∠ABC=90°时, ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时, ABCD是菱形
C.当 ABCD是正方形时,AC=BD
D.当 ABCD是菱形时,AB=AC
4.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°,
AB=2.5 cm,则对角线BD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
5.已知平行四边形ABCD的周长为20,且AB∶BC=2∶3,则CD的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
6.如图所示,在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD的中点,则∠CPQ的度数为( )
A.50° B.60° C.45° D.70°
7.如图所示,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,点M为梯子AB的中点,当
梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中OM的变化规律是( )
A.变小 B.不变
C.变大 D.先变小再变大
8.在菱形ABCD中,AC=CB=4,则菱形ABCD的面积为( )
A.16 B.4 C.8 D.8
9.如图所示,将一张矩形纸片沿虚线对折两次,当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时,已知AB=4 cm,则剪下来的图形的周长为( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
10.如图所示,在Rt△ABC中,AB=4,点D是斜边BC的中点,以AD为边作正方形ADEF.若正方形ADEF的面积为16,则△ABC的周长为( )
A.4 B.12+4 C.12 D.24
11.如图所示,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′处.若AB=6,BC=9,则BF的长为( )
A.4 B.3 C.4.5 D.5
12.如图所示,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°.已知AD=6,DF=2,则△AEF的面积为( )
A.6 B.12 C.15 D.30
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=OB,则
∠AOB的度数是 .
14.在学校科技节活动中,聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具.他先活动学具成为图(1)所示菱形,并测得∠B=120°,接着活动学具成为图(2)所示正方形,并测得对角线AC=8 cm,则图(1)中对角线AC的长为 cm.
15.如图所示,平行四边形ABCD的面积为10,点P在对角线AC上,点E,F分别在AB,AD上,且PE∥BC,PF∥CD,连接EF,则图中阴影部分的面积为 .
16.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,N是边BC上一点,M是边AB上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AC⊥CD,AE⊥BC,若∠EAC=50°,求∠D的度数.
18.(10分)已知:如图所示,在四边形 ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O.求证:O是BD的
中点.
19.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使 CF=BC.若AB=12,求EF的长.
20.(10分)在数学活动课上,老师出了一道关于矩形的题,让同学们
解答.
如图所示,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,且AF=CE,连接BD,DF.求证:四边形BFDE是矩形.
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路:
嘉嘉:先证明四边形BFDE是平行四边形,然后利用矩形定义即可 得证; 琪琪:先证明△ADF与△CBE全等,然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证
(1)嘉嘉的思路 ,琪琪的思路 (均选填“正确”或
“错误”);
(2)请按照你认为的正确思路进行解答.
21.(10分)如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.求证: ABCD是菱形.
22.(12分)如图所示,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)判断△EAF的形状,并说明理由.
23.(12分)如图所示,在 ABCD中,AC⊥BC,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ADEC是矩形;
(2)若AB=13,AC=12,求四边形ADEB的面积.
24.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BF=DE.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AE=3,AD=4,∠DAE=90°,试判断当BE的长为多少时,四边形AECF为菱形,并说明理由.
25.(12分)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.
【建立模型】
(1)如图(1)所示,连接BE,DE.求证:BE=DE;
【模型应用】
(2)如图(2)所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,判断△FBG的形状,并说明理由;
【模型迁移】
(3)如图(3)所示,F是DE延长线上一点,EF交AB于点G,FB⊥BE,BE=BF,求证:GE=(-1)DE.
图(1)
图(2)
图(3)
