第十七章 勾股定理 评价卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.下列数组是勾股数的是( )
A.1,, B.3,4,5 C.6,8,14 D.7,23,26
2.在平面直角坐标系中,点P(1,3)到原点的距离是( )
A.4 B. C.2 D.无法确定
3.已知a,b,c为三角形的三边长,且满足等式|a-5|+(b-12)2+=0,那么此三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A.25 B.14 C.7 D.7或25
5.如图所示,正方形OABC的边OC落在数轴上,OC=2,以点O为圆心,OB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数是( )
A.2 B.-2 C. D.-
6.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.对顶角相等
D.等边三角形的三个角都是60°
7.如图所示,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是
9 cm,内壁高12 cm,则这支铅笔的长度可能是( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
8.一艘轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行,则离开港口2 h后,两船相距( )
A.25 n mile B.30 n mile
C.35 n mile D.40 n mile
9.如图所示,一圆柱体的底面周长为24 cm,高BD为 5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是( )
A.6 cm B.12 cm
C.13 cm D.16 cm
10.如图所示是由边长为1的小正方形组成的网格,△ABC的顶点A,B,C均在格点上.若AD⊥BC于点D,则线段AD的长为( )
A. B.2 C.1 D.2
11.如图所示,折叠长方形纸片ABCD的一边AD,使点D落在边BC上的点F处,已知 AB=8 cm,AD=10 cm,则EF的长为( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
12.如图(1)所示是我国古代著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形围成的,若较短的直角边BC=5,斜边AB=,若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )
A.70 B.76 C.72 D.80
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13.命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 ,它是 命题(选填“真”或“假”).
14.如图所示,一座桥横跨一河,桥长40 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸后,发现已偏离桥南头9 m,则小船实际行驶的距离为 m.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为 .
16.有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2 024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 .
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17.(10分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
若a=5,b=10,求c的值.
18.(10分)如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格,按要求作图.
在图中画出一条长为的线段.
19.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4 cm,BC=3 cm,
AD=12 cm,CD=13 cm,判断△ACD的形状,并说明理由.
20.(10分)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”(注:1步=5尺)
译文:有一架秋千(如图(1)所示),当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离,如图(2)所示)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为 5尺,秋千的绳索始终拉得很直,问绳索有多长.
图(1)
图(2)
21.(10分)如图所示,D为△ABC的边BC上的一点,AB=10,AD=6,
CD=2AD,BD=CD.
(1)求BC的长;
(2)求△ABC的面积.
22.(12分)如图(1)所示,直角三角形的两条直角边长分别是a,b(a(1)探究:用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形如图(2)所示.
①小正方形的边长为c,大正方形的边长为 ;
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ,整理得
,从而验证勾股定理;
(2)应用:将两个这样的直角三角形按图(3)所示摆放,使BC和CD在一条直线上,连接AE.请你类比(1)中的方法用图(3)验证勾股定理.
23.(12分)为培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八年级(1)班,八年级(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八年级(1)班试验基地的三边长分别为5 m,
12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.求出的面积为 m2.
(2)八年级(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,
AC=13 m(如图所示),你能帮助他们求出面积吗
24.(12分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1 cm的速度运动,设运动的时间为t s.
(1)若△ABP是以BP为斜边的直角三角形,求t的值;
(2)若△ABP是以BP为腰的等腰三角形,求t的值.
25.(12分)定义:如图所示,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN2=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.第十七章 勾股定理 评价卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.下列数组是勾股数的是(B)
A.1,, B.3,4,5 C.6,8,14 D.7,23,26
2.在平面直角坐标系中,点P(1,3)到原点的距离是(B)
A.4 B. C.2 D.无法确定
3.已知a,b,c为三角形的三边长,且满足等式|a-5|+(b-12)2+=0,那么此三角形的形状为(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(D)
A.25 B.14 C.7 D.7或25
5.如图所示,正方形OABC的边OC落在数轴上,OC=2,以点O为圆心,OB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数是(B)
A.2 B.-2 C. D.-
6.下列命题的逆命题是假命题的是(C)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.对顶角相等
D.等边三角形的三个角都是60°
7.如图所示,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是
9 cm,内壁高12 cm,则这支铅笔的长度可能是(D)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
8.一艘轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行,则离开港口2 h后,两船相距(D)
A.25 n mile B.30 n mile
C.35 n mile D.40 n mile
9.如图所示,一圆柱体的底面周长为24 cm,高BD为 5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是(C)
A.6 cm B.12 cm
C.13 cm D.16 cm
10.如图所示是由边长为1的小正方形组成的网格,△ABC的顶点A,B,C均在格点上.若AD⊥BC于点D,则线段AD的长为(D)
A. B.2 C.1 D.2
11.如图所示,折叠长方形纸片ABCD的一边AD,使点D落在边BC上的点F处,已知 AB=8 cm,AD=10 cm,则EF的长为(D)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
12.如图(1)所示是我国古代著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形围成的,若较短的直角边BC=5,斜边AB=,若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是(B)
A.70 B.76 C.72 D.80
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13.命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 等腰三角形是等边三角形 ,它是 假 命题(选填“真”或“假”).
14.如图所示,一座桥横跨一河,桥长40 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸后,发现已偏离桥南头9 m,则小船实际行驶的距离为 41 m.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为 3 .
16.有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2 024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 2 025 .
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17.(10分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
若a=5,b=10,求c的值.
解:由勾股定理,知c2=a2+b2=52+102=125,
∴c=5.
18.(10分)如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格,按要求作图.
在图中画出一条长为的线段.
解:(画法不唯一)如图所示.
∵AC===,
∴线段AC即为所求.
19.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4 cm,BC=3 cm,
AD=12 cm,CD=13 cm,判断△ACD的形状,并说明理由.
解:△ACD是直角三角形.理由如下:
∵△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=4 cm,BC=3 cm,
∴AC===5(cm).
∵AD=12 cm,CD=13 cm,∴52+122=132.
∴△ACD是直角三角形.
20.(10分)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”(注:1步=5尺)
译文:有一架秋千(如图(1)所示),当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离,如图(2)所示)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为 5尺,秋千的绳索始终拉得很直,问绳索有多长.
图(1)
图(2)
解:设秋千的绳索长为x尺.
根据题意,可列方程为x2=102+(x-4)2,解得x=.
∴秋千的绳索长为尺.
21.(10分)如图所示,D为△ABC的边BC上的一点,AB=10,AD=6,
CD=2AD,BD=CD.
(1)求BC的长;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)∵AD=6,CD=2AD,∴CD=12.
∵BD=CD=8,∴BC=BD+CD=20.
(2)在△ABD中,∵AB=10,AD=6,BD=8,
∴AB2=100,AD2+BD2=100.
∴AB2=AD2+BD2.
∴△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∴S△ABC=BC·AD=60.
22.(12分)如图(1)所示,直角三角形的两条直角边长分别是a,b(a(1)探究:用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形如图(2)所示.
①小正方形的边长为c,大正方形的边长为 ;
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ,整理得
,从而验证勾股定理;
(2)应用:将两个这样的直角三角形按图(3)所示摆放,使BC和CD在一条直线上,连接AE.请你类比(1)中的方法用图(3)验证勾股定理.
解:(1)①a+b
②(a+b)2=4×ab+c2 a2+b2=c2
(2)∵∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD,
∴∠ECD+∠ACB=90°.
∴∠ACE=90°.
用两种不同的方法表示出梯形ABDE的面积,可得(a+b)(a+b)=2×ab+c2,
∴a2+2ab+b2=2ab+c2.
∴a2+b2=c2.
23.(12分)为培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八年级(1)班,八年级(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八年级(1)班试验基地的三边长分别为5 m,
12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.求出的面积为 m2.
(2)八年级(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,
AC=13 m(如图所示),你能帮助他们求出面积吗
解:(1)30
(2)过点A作AH⊥BC于点H,如图所示,设BH=x,则CH=14-x.
在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,
在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,
∴152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.
∴AH==12.
∴△ABC的面积=BC·AH=×14×12=84(m2).
答:△ABC的面积是84 m2.
24.(12分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1 cm的速度运动,设运动的时间为t s.
(1)若△ABP是以BP为斜边的直角三角形,求t的值;
(2)若△ABP是以BP为腰的等腰三角形,求t的值.
解:(1)如图①所示,∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,
∴BC==4.
∴CP=t-4.
由∠ACP=∠BAP=90°,
可得AP2=t2-25=(t-4)2+9,
解得t=.
∴t的值为.
(2)如图②所示,当AB=BP时,t=5.
如图③所示,当BP=AP时,CP=4-t.
在Rt△APC中,可得9+(4-t)2=t2,
解得t=.
综上所述,t的值为5或.
25.(12分)定义:如图所示,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN2=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.
解:(1)是.理由如下:
因为AM=2,MN=4,BN2=12,
所以AM2+BN2=16,MN2=42=16.所以AM2+BN2=MN2.
所以以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形.
即点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=12-AM-BN=7-x.
①当MN为最长线段时,依题意,有MN2=AM2+NB2,
即(7-x)2=25+x2,
解得x=.
②当BN为最长线段时,依题意有BN2=AM2+MN2,
即x2=25+(7-x)2,
解得x=.
综上所述,BN的长为或.
