第17章 勾股定理 素养提升测试题（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级下册

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第17章 勾股定理 素养提升测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　）
A．6 B． C．24 D．2
2．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．全等三角形的对应角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
3．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，BC⊥AC于点C，∠BAC＝30°，则缆车从A点到B点的过程中，上升的高度（BC的长）为（　　）
A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米
4．如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是（　　）
A． B．1 C．2 D．
5．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　）
A．45° B．30° C．60° D．90°
6．如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与量角器的半径OC垂直于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
7．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（　　）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
8．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，则梯子AB的长为（　　）
A．24 B．25 C．15 D．20
9．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
10．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　）
A．2 B．23
C．2或 D．2或23
二．填空题（共15小题，满分15分，每小题3分）
11．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（c2﹣a2﹣b2）2+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为　 　．
12．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则BC的长为 　 　cm．
13．一束光线从y轴上点A（0，2）出发，经过x轴上某点C反射后经过点B（3，2），光线从点A到点B所经过的路线长为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　 　．
15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
17．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P是BC边上的中点，连接AP，求证：BP CP＝AB2﹣AP2；
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
18．（9分）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．
20．（9分）材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8、15、17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
21．（9分）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知AB＝AC＝180cm，AD＝160cm，AC与AB的张角∠BAC记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α大小的锁链．
（1）求锁链BC长度的最大值；
（2）若α＝60°，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号）
22．（10分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
23．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴根据勾股定理，得BC6．
故选：A．
2．解：A、如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，不符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；
故选：D．
3．解：∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝40米，∠1BAC＝30°，
∴BCAB40＝20（米），
故选：A．
4．解：由题意得可知：OB＝2，BC＝1，
根据勾股定理可知：，
∴．
故选：D．
5．解：根据题意得，CP2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，BP2＝12+32＝10，CP＞0，BP＞0，
∴CP2+BC2＝BP2，CP＝BC，
∴△BCP是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB+∠PBA＝45°，
故选：A．
6．解：如图，连接OC，
由图形可知，OC＝OD＝5，OB＝14﹣1＝13，BC⊥OC，
∴△BOC为直角三角形，
∴BC，
∵直角三角板ABC中的∠B＝30°，
∴AC，
故选：B．
7．解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
8．解：设AO＝x m，依题意，得AC＝4，BD＝8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理
AB2＝AO2+OB2＝x2+72
在Rt△COD中，根据勾股定理
CD2＝CO2+OD2＝（x﹣4）2+（7+8）2，
x2+72＝（x﹣4）2+（7+8）2，
解得x＝24，
∴，
故选：B．
9．解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OECD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：B．
10．解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，
∴DH＝BH，
∵∠A＝30°，
∴CHAC，AHCH，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH，
∴AB＝AH+BH2，AD＝AH﹣DH，
故选：C．
二．填空题（共15小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵（c2﹣a2﹣b2）2+|a﹣b|＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，
解得：a2+b2＝c2，a＝b，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
12．解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，
所以BC＝20cm，
故答案为：20．
13．解：如图所示：
点一束光线从点A出发，与x轴交于点C，反射后经过点B，作BD⊥x轴于点D，
∵入射角等于反射角，
∴∠ACO＝∠BCD．
∵∠AOC＝∠BDC＝90°，AO＝BD，
∴△ACO≌△BCD（AAS），
∴AC＝BC，
∴AC，
∴AC+BC＝2AC＝5．
即光线从点A到点B所经过的路线长为5．
14．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则：CM＝CN，
∵，，且BF＝AE，
∴S△CBF＝S△ACE，
∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，
∵AC＝13，
∴AB＝13，
设AM＝x，则BM＝13﹣x，
由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形EBFC的面积为60，
故答案为：60．
解法二：过点A作AH⊥BC，可得AH＝12，得出．
15．解：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时，
∵AC＝CD＝4，BC＝3，
∴BD＝CD+BC＝7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE＝2，BE＝5，
∴BD；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE＝4．BE＝7，
∴BD，
故答案为7或或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2，
即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
17．（1）证明：由等腰三角形的三线合一可得：
∴AP⊥BC，BP＝PC，
∵AB2＝AP2+BP2，
∴AB2﹣AP2＝BP2＝BP CP；
（2）解：成立，
过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴BM＝CM，
∵AB2＝AM2+BM2，AP2＝AM2+MP2，
∴AB2﹣AP2＝BM2﹣MP2＝（BM+MP）（BM﹣MP），
∵BM＝CM，
∴BM+MP＝CM+PM＝CP，
∴AB2﹣AP2＝BP CP．
18．解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∴C岛在A港的北偏西40°．
19．（1）证明：连接BE，如图所示，
∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴△BEC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x，
∵BE＝AE，
∴BE＝12﹣x，
∵∠ECB＝90°，BC＝9，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴92+x2＝（12﹣x）2，
解得x，
即CE．
20．解：（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8、15、17是为勾股数．
（2）∵72+242＝252
∴该三角形是直角三角形
∴其面积7×24＝84．
（3）当8是直角边时，则另一条边10，周长为6+8+10＝24；
当8是斜边时，则另一条边2，周长为6+8+214+2．
故其周长为24或14+2．
21．解：（1）由题意得：当∠BAC＝α＝60°时，锁链BC长度的最大，
∵AB＝AC＝180cm，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝180cm，
∴锁链BC长度的最大值为180cm；
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵∠BAC＝α＝60°，AB＝AC＝180cm，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AD＝160cm，
∴BD＝AB+AD＝340cm，
在Rt△BDE中，DE＝BD sin60°＝340170（cm），
∴此时桑梯顶端D到地面的距离为170cm．
22．解：（1）设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺；
（2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴a2+b2＝（b+n）2，
解得b．
23．解：（1）如图1，连接BP，
在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC8（cm），
则PC＝8﹣PA，
由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，PA，
则t4；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
∴△ACP≌△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8（cm），
∴BG＝10﹣8＝（cm），
设CP＝x cm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝x cm，
∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2
解得，x，
∴AC+CP（cm），
∴t4，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6；
（3）如图3，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
则4t＝8﹣6，
解得，t；
如图4，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷4＝5；
如图5，点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
AB×CDBC×AC，即10×CD6×8，
解得，CD＝4.8，
在Rt△BCD中，BD3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷4＝5.3；
如图6，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BPAB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷4；
综上所述，t为或5.3或5或时，△BCP为等腰三角形．
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