第二十八章 锐角三角函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=3,则∠C的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.如图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°,测角仪CD的高度为1米,其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是( )
A.tan 55°= B.tan 55°=
C.sin 55°= D.cos 55°=
3.如果30°<∠A<45°,那么sin A的取值范围是( )
A.0C.4. (2023长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
5.(金华中考)一配电房示意图如图,它是一个轴对称图形.已知BC=
6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为( )
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C.(4+)m D.(4+)m
6.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB的中点,则cos∠BFE的值是( )
A. B. C. D.
7.如图,AB是☉O的直径,弦AD,BC相交于点P,那么的值为( )
A.sin∠APC B.cos∠APC C.tan∠APC D.
8.(2023杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9. (2023日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m.参考数据:≈1.41,≈1.73)( )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,tan A=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是( )
A.2 B.4 C.5 D.10
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B的值为 .
12.计算2sin 45°+2cos 30°+3tan 60°的结果是 .
13.已知在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 .
14.如图,在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB= .
15.如图,我海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向位于北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向,在B岛的北偏西40°方向.A,B两岛之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离约是 n mile.(参考数据:≈1.4,≈1.7.结果保留整数)
16.(乐山中考)如图,已知点A(4,3),点B为直线y=-2上的动点,点C(0,n),-2三、解答题(共52分)
17.(6分)计算:
(1)(2024成都)+2sin 60°-(π-2 024)0+|-2|;
(2)(2024德阳)+()-2-2cos 60°.
18.(8分)(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,求AB和AC的长;
(2)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=,
b=3,解这个直角三角形.
19.(8分)(2023内蒙古)为了增强学生体质,锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 km处,C点在A点的北偏东80°方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数;
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).
20.(8分)(2024义乌期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=BC=5,
sin∠ABD=,过点A作AD⊥BC于点D.
(1)求BD的长;
(2)若点E是边AC的中点,连接BE,求tan∠EBC的值.
21.(10分)(2023菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图,某人利用无人机测量大楼的高度BC,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处的俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30°,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度BC(结果保留根号).
22. (12分)(2024贵州一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AC上一点,且AD=BD,设BC=a,CD=b,BD=c,∠A=α.
(1)分别计算tan α和tan 2α;
(2)根据(1)中的结果,用含tan 2α的式子表示出tan α.第二十八章 锐角三角函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=3,则∠C的余弦值为( A )
A. B. C. D.
2.如图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°,测角仪CD的高度为1米,其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是( B )
A.tan 55°= B.tan 55°=
C.sin 55°= D.cos 55°=
3.如果30°<∠A<45°,那么sin A的取值范围是( B )
A.0C.4. (2023长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为( D )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
5.(金华中考)一配电房示意图如图,它是一个轴对称图形.已知BC=
6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为( B )
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C.(4+)m D.(4+)m
6.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB的中点,则cos∠BFE的值是( D )
A. B. C. D.
7.如图,AB是☉O的直径,弦AD,BC相交于点P,那么的值为( B )
A.sin∠APC B.cos∠APC C.tan∠APC D.
8.(2023杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n等于( C )
A.5 B.4 C.3 D.2
9. (2023日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m.参考数据:≈1.41,≈1.73)( B )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,tan A=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是( B )
A.2 B.4 C.5 D.10
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B的值为 .
12.计算2sin 45°+2cos 30°+3tan 60°的结果是 +4 .
13.已知在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 2或14 .
14.如图,在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB= .
15.如图,我海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向位于北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向,在B岛的北偏西40°方向.A,B两岛之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离约是 34 n mile.(参考数据:≈1.4,≈1.7.结果保留整数)
16.(乐山中考)如图,已知点A(4,3),点B为直线y=-2上的动点,点C(0,n),-2三、解答题(共52分)
17.(6分)计算:
(1)(2024成都)+2sin 60°-(π-2 024)0+|-2|;
(2)(2024德阳)+()-2-2cos 60°.
解:(1)+2sin 60°-(π-2 024)0+|-2|
=4+2×-1+2-
=5+-
=5.
(2)+()-2-2cos 60°
=-2+(2-1)-2-2×
=-2+22-1
=-3+4
=1.
18.(8分)(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,求AB和AC的长;
(2)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=,
b=3,解这个直角三角形.
解:(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,
∴AB===,∴AC=AB·cos 60°=×=.
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=,b=3,
∴tan A==,∴∠A=30°,
∴c=2a=2,∠B=90°-∠A=60°,
∴c=2,∠A=30°,∠B=60°.
19.(8分)(2023内蒙古)为了增强学生体质,锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 km处,C点在A点的北偏东80°方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数;
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).
解:(1)由题意得∠NAC=80°,∠BAS=25°,
∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°.
又∵∠ABC=45°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°,
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°.
(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,如图.
在Rt△ABD中,AB=3 km,∠ABC=45°,
∴AD=AB·sin 45°=3×=3(km),
BD=AB·cos 45°=3×=3(km).
在Rt△ADC中,∠ACB=60°,
∴CD===(km),
∴BC=BD+CD=(3+)km,
∴检查点B和C之间的距离为(3+)km.
20.(8分)(2024义乌期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=BC=5,
sin∠ABD=,过点A作AD⊥BC于点D.
(1)求BD的长;
(2)若点E是边AC的中点,连接BE,求tan∠EBC的值.
解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,∵sin∠ABD==,AB=5,
∴AD=4,
∴BD==3.
(2)∵BC=5,BD=3,
∴CD=2.
∵AB=BC,且点E是边AC的中点,
∴BE⊥AC,
∴∠EBC+∠C=90°.
又∵∠CAD+∠C=90°,
∴∠EBC=∠CAD.
在Rt△CAD中,
tan∠CAD===,
∴tan∠EBC=.
21.(10分)(2023菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图,某人利用无人机测量大楼的高度BC,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处的俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30°,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度BC(结果保留根号).
解:如图,过点P作 PH⊥AB于点H,过点C作CQ⊥PH于点Q,而 CB⊥AB,
则四边形 CQHB是矩形,
∴QH=BC,BH=CQ.
由题意可得AP=80,∠PAH=60°,∠PCQ=30°,AB=70,
∴PH=AP·sin 60°=80×=40,AH=AP·cos 60°=40,
∴CQ=BH=AB-AH=70-40=30,
∴PQ=CQ·tan 30°=10,
∴BC=QH=PH-PQ=40-10=30,
∴大楼的高度BC为30米.
22. (12分)(2024贵州一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AC上一点,且AD=BD,设BC=a,CD=b,BD=c,∠A=α.
(1)分别计算tan α和tan 2α;
(2)根据(1)中的结果,用含tan 2α的式子表示出tan α.
解:(1)∵AD=BD,BD=c,
∴AC=AD+DC=b+c,∠BDC=2∠A=2α,
∴tan α==,
tan 2α=tan∠BDC==.
(2)∵∠C=90°,
∴c=.
∵tan 2α==,
∴a=b·tan 2α,
∴tan α=
=
=
=
=
=
=.
