第二十六章 反比例函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数中,y是x的反比例函数的是( A )
A.y=- B.y=- C.y= D.y=1-
2.(2024邯郸期末)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,已知每只玩具熊猫的成本为y元,若该厂每月生产x只(x取正整数),生产玩具熊猫的成本为5 000元,则y与x之间满足的关系为( C )
A.y= B.y= C.y= D.y=
3.(2024承德期末)已知反比例函数y=-,下列说法不正确的是( D )
A.图象经过点(4,-2) B.图象分别在第二、四象限
C.y≤1时,x≤-8或x>0 D.在每个象限内y随x增大而减小
4.(贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点,其中恰有三点在反比例函数y=(k>0)的图象上.根据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数y=的图象上的点是( C )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
5.已知反比例函数y=-,下列结论不正确的是( B )
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限 D.当x>1时,-26.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=的图象在同一坐标系中大致为( A )
A B
C D
7.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)成反比例函数关系,它的图象如图.下列说法正确的是( C )
A.函数解析式为I= B.蓄电池的电压是18 V
C.当I≤10 A时,R≥3.6 Ω D.当R=6 Ω时,I=4 A
8.如图,点P是反比例函数y=(x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,点D是矩形OAPB内任意一点,连接DA,DB,DP,DO,则图中阴影部分的面积和是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=的图象交于A(m,6),
B(3,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点,则△AOB的面积为( C )
A.3 B.6 C.8 D.12
10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A,以线段AB为边作正方形ABCD,且点C在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为( D )
A.-12 B.-42 C.42 D.-21
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(盐城中考)已知反比例函数的图象经过点(2,3),则该函数解析式为 y= .
12.当1≤x≤2时,反比例函数y=的最大值与最小值之差是 1 .
13.(黔东南中考)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B,直角顶点A在y轴上,反比例函y=(x<0)的图象经过AC边的中点D.若BC=2,则k= - .
14. (2024唐山期末)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,延长AC至点B,连接OB,点D是y轴上任意一点,连接OA,AD,BD.若S△ABD=6,则S△AOB= 6 .
15. (2024邯郸模拟)如图,平面直角坐标系中,已知A(3,3),B(0,-1),将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′,点B′恰好在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为 -6 .
16.如图,已知函数y=2x和函数y=的图象交于A,B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B,O,
E,P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的点P坐标是 (0,-4),(-4,-4),(4,4) .
三、解答题(共52分)
17.(7分)函数y=(m-1)是反比例函数.
(1)求m的值.
(2)指出该函数图象所在的象限,在每个象限内,y随x的增大如何
变化
(3)判断点(,2)是否在这个函数的图象上.
解:(1)由题意得解得m=0.
(2)∵m=0,∴反比例函数的解析式为y=-,
∴函数图象在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)当x=时,y=-2≠2,∴点(,2)不在这个函数的图象上.
18.(7分)(大连中考)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图,当V=5 m3时,ρ=
1.98 kg/m3.
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式;
(2)若3 m3≤V≤9 m3,求二氧化碳密度ρ的变化范围.
解:(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=(k≠0).
∵当V=5 m3时,ρ=1.98 kg/m3,∴1.98=,∴k=9.9,
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=(V>0).
(2)∵k=9.9>0,∴当V>0时,ρ随V的增大而减小,
∴当3 m3≤V≤9 m3时,≤ρ≤,
即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1 kg/m3≤ρ≤3.3 kg/m3.
19.(8分)(泸州中考)如图,直线y=-x+b与反比例函数y=的图象相交于点A,B,已知点A的纵坐标为6.
(1)求b的值;
(2)若点C是x轴上一点,且△ABC的面积为3,求点C的坐标.
解:(1)∵点A在反比例函数y=的图象上,且点A的纵坐标为6,∴点A(2,6).
∵直线y=-x+b经过点A,∴6=-×2+b,∴b=9.
(2)设直线AB与x轴的交点为D(图略),设点C(a,0).
∵直线AB与x轴的交点为D,∴点D(6,0).
联立两函数解析式,得解得∴点B(4,3).
∵S△ACB=S△ACD-S△BCD,∴3=CD·(6-3),∴CD=2,∴点C的坐标为(4,0)或(8,0).
20. (9分)(2024济南模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(m,6),B(4,-3)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出不等式-x+b>的解集;
(3)点P在x轴上,求|PA-PB|的最大值.
解:(1)∵点B(4,-3)在反比例函数 y= 和一次函数 y=-x+b 的图
象上,
∴-3=,-3=-×4+b,解得 k=-12,b=3.
∴反比例函数的解析式为 y=-,一次函数的解析式为y=-x+3.
(2)∵点A在反比例函数图象上,∴6=-,∴m=-2.根据图象和交点坐标可知不等式-x+b>的解集为x<-2或0(3)如图,作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′并作AB′的延长线交x轴于点P,连接PB.
由对称性可知 PB=PB′,∴PA-PB=PA-PB′=AB′,
∴|PA-PB|的值最大为 AB′.
∵点B′是点B关于x轴的对称点,点B(4,-3),
∴点B′(4,3).
由(2)得m=-2,
∴A(-2,6),∴AB′==3.
即|PA-PB|的最大值为3.
21.(10分) (2024济宁模拟)如图,点A(3,6),B(6,a)是反比例函数y=(m>0)的图象上的两点.
(1)求a的值;
(2)求△AOB的面积;
(3)设点C的坐标为(9,0),点P是反比例函数y=(m>0)的图象上一点,若△POC的面积等于△AOB的面积的3倍,求点P的坐标.
解:(1)把A(3,6)代入y=,得m=18,
即y=.
把B(6,a)代入y=,得a==3.
(2)过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N(图略).
∵A(3,6),B(6,3),
∴AM=6,OM=3,ON=6,BN=3,
∴S△AOB=S△AMO+S梯形AMNB-S△BNO=×3×6+×(6+3)×(6-3)-×6×3=.
(3)设点P的坐标是(c, ).
∵C(9,0),△POC的面积等于△AOB的面积的3倍,S△AOB=,
∴×9×=3×,
解得c=±2,
即点P的坐标是(2,9)或(-2,-9).
22.(11分)为了贯彻“发展循环经济,提高工厂效益”的绿色发展理念,某化工厂管理人员某年对生产线进行为期5个月的升级改造,改造期间的月利润与时间成反比例函数;到5月底开始恢复全面生产后,工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,其图象如图,试解决下列问题:
(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后,y关于x的函数解析式.
(2)到第几个月时,该化工厂月利润才能再次达到100万元
(3)当月利润少于50万元时,为该化工厂的资金紧张期,问:该化工厂资金紧张期共有几个月
解:(1)改造前,y=(1≤x≤5,且x为整数),改造后,y=10x-30(x>5,且x为整数).
(2)在函数y=10x-30中,令y=100,得10x-30=100,解得x=13.
答:到第13个月时,该化工厂月利润才能再次达到100万元.
(3)在函数y=中,当y=50时,x=2.
∵100>0,∴y随x的增大而减小,∴当y<50时,x>2.
在函数y=10x-30中,当y<50时,得10x-30<50,解得x<8,
∴2答:该化工厂资金紧张期共有5个月.第二十六章 反比例函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数中,y是x的反比例函数的是( )
A.y=- B.y=- C.y= D.y=1-
2.(2024邯郸期末)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,已知每只玩具熊猫的成本为y元,若该厂每月生产x只(x取正整数),生产玩具熊猫的成本为5 000元,则y与x之间满足的关系为( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
3.(2024承德期末)已知反比例函数y=-,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(4,-2) B.图象分别在第二、四象限
C.y≤1时,x≤-8或x>0 D.在每个象限内y随x增大而减小
4.(贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点,其中恰有三点在反比例函数y=(k>0)的图象上.根据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数y=的图象上的点是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
5.已知反比例函数y=-,下列结论不正确的是( )
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限 D.当x>1时,-26.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=的图象在同一坐标系中大致为( )
A B
C D
7.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)成反比例函数关系,它的图象如图.下列说法正确的是( )
A.函数解析式为I= B.蓄电池的电压是18 V
C.当I≤10 A时,R≥3.6 Ω D.当R=6 Ω时,I=4 A
8.如图,点P是反比例函数y=(x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,点D是矩形OAPB内任意一点,连接DA,DB,DP,DO,则图中阴影部分的面积和是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=的图象交于A(m,6),
B(3,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点,则△AOB的面积为( )
A.3 B.6 C.8 D.12
10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A,以线段AB为边作正方形ABCD,且点C在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为( )
A.-12 B.-42 C.42 D.-21
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(盐城中考)已知反比例函数的图象经过点(2,3),则该函数解析式为 .
12.当1≤x≤2时,反比例函数y=的最大值与最小值之差是 .
13.(黔东南中考)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B,直角顶点A在y轴上,反比例函y=(x<0)的图象经过AC边的中点D.若BC=2,则k= .
14. (2024唐山期末)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,延长AC至点B,连接OB,点D是y轴上任意一点,连接OA,AD,BD.若S△ABD=6,则S△AOB= .
15. (2024邯郸模拟)如图,平面直角坐标系中,已知A(3,3),B(0,-1),将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′,点B′恰好在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为 .
16.如图,已知函数y=2x和函数y=的图象交于A,B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B,O,
E,P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的点P坐标是 .
三、解答题(共52分)
17.(7分)函数y=(m-1)是反比例函数.
(1)求m的值.
(2)指出该函数图象所在的象限,在每个象限内,y随x的增大如何
变化
(3)判断点(,2)是否在这个函数的图象上.
18.(7分)(大连中考)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图,当V=5 m3时,ρ=
1.98 kg/m3.
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式;
(2)若3 m3≤V≤9 m3,求二氧化碳密度ρ的变化范围.
19.(8分)(泸州中考)如图,直线y=-x+b与反比例函数y=的图象相交于点A,B,已知点A的纵坐标为6.
(1)求b的值;
(2)若点C是x轴上一点,且△ABC的面积为3,求点C的坐标.
20. (9分)(2024济南模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(m,6),B(4,-3)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出不等式-x+b>的解集;
(3)点P在x轴上,求|PA-PB|的最大值.
21.(10分) (2024济宁模拟)如图,点A(3,6),B(6,a)是反比例函数y=(m>0)的图象上的两点.
(1)求a的值;
(2)求△AOB的面积;
(3)设点C的坐标为(9,0),点P是反比例函数y=(m>0)的图象上一点,若△POC的面积等于△AOB的面积的3倍,求点P的坐标.
22.(11分)为了贯彻“发展循环经济,提高工厂效益”的绿色发展理念,某化工厂管理人员某年对生产线进行为期5个月的升级改造,改造期间的月利润与时间成反比例函数;到5月底开始恢复全面生产后,工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,其图象如图,试解决下列问题:
(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后,y关于x的函数解析式.
(2)到第几个月时,该化工厂月利润才能再次达到100万元
(3)当月利润少于50万元时,为该化工厂的资金紧张期,问:该化工厂资金紧张期共有几个月
