第二十七章 相似
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各选项:①两个边长不等的等边三角形;②两个边长不等的正方形;③两个边长不等的菱形;④两个斜边不等的等腰直角三角形.其中两个图形一定相似的有( C )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
2.已知四边形ABCD∽四边形EFGH,且AB=3,EF=4,FG=5.则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为( C )
A.3∶4 B.3∶5 C.4∶3 D.5∶3
3.如图,把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,则位似中心可以是( B )
A.G点 B.F点 C.E点 D.D点
4.如图,在△ECD中,∠C=90°,AB⊥EC于点B,AB=1.2,EB=1.6,
BC=12.4,则CD的长是( C )
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
5.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠BAC,则添加下列条件后,不能判定△ADC和△BAC相似的是( C )
A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.= D.=
6.如图,AB∥CD∥EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错误的是( D )
A.= B.= C.= D.=
7. (2024烟台期末)一种燕尾夹如图①,图②是闭合状态时的示意图,图③是打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图②闭合状态到图③打开状态,点B,D之间的距离减少了( A )
① ② ③
A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),
B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度为( D )
A. B.2 C.4 D.2
9.在平面直角坐标系中,将一个直角三角形如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-(x<0),y=(x>0)的图象上,则的值为( A )
A. B. C. D.
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E,F分别是AD,
CD的中点,连接BE,BF,EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( C )
A.2 B. C. D.3
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.四条线段a,b,c,d成比例,其中a=1 cm,b=3 cm,c=3 cm,则线段d= 9 cm.
12.(成都中考)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 2∶5 .
13.如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= .
14. (2024石家庄期末)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明眼睛到台阶DE的距离为1.6米,则凉亭的高度AB约为 8.5 米.
15.(锦州中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,AC交于点F.若AB=6,则△AEF的面积为 3 .
16.如图,CE垂直平分 ABCD的边AB,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:①四边形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF∶BE=2∶3;④S四边形AFOE∶S△COD=2∶3.其中正确的结论有 ①②④ .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,AE=3.
(1)求EC的长;
(2)求证:AD·AG=AF·AB.
(1)解:∵DE∥BC,∴=.又∵=,AE=3,
∴=,解得AC=9,∴EC=AC-AE=9-3=6.
(2)证明:∵DE∥BC,EF∥CG,∴==,∴AD·AG=AF·AB.
18.(7分)(2024威海期末)如图的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点B的对应点B1的坐标;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形
△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的
坐标;
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,其中点B的对应点B1的坐标为(3,1).
(2)如图,△A2B2C2即为所求,点B的对应点B2的坐标为(2,-6).
(3)点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标为(-2a,-2b).
19. (8分)(2024青岛期中)如图①,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图②(示意图),小亮在P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
① ②
解:由光的反射定律,得∠CPD=∠BPA.
∵DC,AB均垂直于CB,
∴∠DCP=∠ABP=90°,∴△DCP∽△ABP,
∴DC∶AB=PC∶PB,
∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99米.
答:塔的高度AB是99米.
20.(9分)(2024泰安模拟)如图,点P在△ABC的外部,连接AP,BP,在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,连接PQ.
(1)求证:AC·AP=AB·AQ;
(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系,并说明理由.
(1)证明:∵∠1=∠BAC,
∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,
∴∠CAQ=∠BAP.
又∵∠2=∠ABP,
∴△CAQ∽△BAP,
∴=,
∴AC·AP=AB·AQ.
(2)解:∠PQA=∠ACB.
理由:∵AC·AP=AB·AQ,∴=.
又∵∠1=∠BAC,∴△APQ∽△ABC,∴∠PQA=∠ACB.
21.(10分)(2023温州)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.
(1)求证:BE=CF;
(2)当=,AD=4时,求EF的长.
(1)证明:∵FH⊥EF,GE=GH,
∴GE=GF=GH,∴∠GFE=∠E.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,
∴△ABF≌△DCE(AAS),∴BF=CE,
∴BF-BC=CE-BC,即BE=CF.
(2)解:∵FH⊥EF,∠BCD=90°,
∴CD∥FH,∴△DCE∽△HFE,
∴=.
∵CD=AB,∴==.
设BE=CF=x,∵BC=AD=4,
∴CE=x+4,EF=2x+4,
∴=,解得x=1,∴EF=6.
22.(12分)(1)尝试:如图①,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,C′,连接BB′,CC′,图中有哪对三角形相似(非全等) 给出证明.
(2)拓展:如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,
C′,连接BB′,CC′,若BB′=8,求CC′的长.
(3)应用:如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠ABC=30°,将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转一周,在旋转过程中,当点B的对应点B′恰好落在Rt△ABC的BC边所在的直线上时,直接写出此时点C的运动路径长.
① ②
③
解:(1)△ABB′∽△ACC′.证明如下:
∵△AB′C′是由△ABC旋转得到的,
∴∠BAC=∠B′AC′,AB=AB′,AC=AC′,
∴∠BAC+∠CAB′=∠B′AC′+∠CAB′,即∠BAB′=∠CAC′,=,
∴△ABB′∽△ACC′.
(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴根据勾股定理,得AB===AC.
同(1)可证△ABB′∽△ACC′,
∴=,
∴CC′==4.
(3)∵在Rt△ABC中,AB=2,∠ABC=30°,
∴AC=AB=1,∠BAC=60°.
当点B′落在边BC的延长线上时,如图,
∴点C运动的路径即为.
由旋转的性质可得∠B′AC′=∠BAC=60°,
∴∠CAB′=180°-∠B′AC′-∠BAC=60°,
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=120°,
∴的长为=.
当点B′与点B再次重合时,点C旋转一周,
∴的长为2π×AC=2π.
∴当点B的对应点B′恰好落在Rt△ABC的边BC所在直线上时,点C的运动路径长为或2π.第二十七章 相似
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各选项:①两个边长不等的等边三角形;②两个边长不等的正方形;③两个边长不等的菱形;④两个斜边不等的等腰直角三角形.其中两个图形一定相似的有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
2.已知四边形ABCD∽四边形EFGH,且AB=3,EF=4,FG=5.则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为( )
A.3∶4 B.3∶5 C.4∶3 D.5∶3
3.如图,把△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,则位似中心可以是( )
A.G点 B.F点 C.E点 D.D点
4.如图,在△ECD中,∠C=90°,AB⊥EC于点B,AB=1.2,EB=1.6,
BC=12.4,则CD的长是( )
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
5.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠BAC,则添加下列条件后,不能判定△ADC和△BAC相似的是( )
A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.= D.=
6.如图,AB∥CD∥EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错误的是( )
A.= B.= C.= D.=
7. (2024烟台期末)一种燕尾夹如图①,图②是闭合状态时的示意图,图③是打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图②闭合状态到图③打开状态,点B,D之间的距离减少了( )
① ② ③
A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),
B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度为( )
A. B.2 C.4 D.2
9.在平面直角坐标系中,将一个直角三角形如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-(x<0),y=(x>0)的图象上,则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E,F分别是AD,
CD的中点,连接BE,BF,EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( )
A.2 B. C. D.3
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.四条线段a,b,c,d成比例,其中a=1 cm,b=3 cm,c=3 cm,则线段d= cm.
12.(成都中考)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 .
13.如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= .
14. (2024石家庄期末)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明眼睛到台阶DE的距离为1.6米,则凉亭的高度AB约为 米.
15.(锦州中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,AC交于点F.若AB=6,则△AEF的面积为 .
16.如图,CE垂直平分 ABCD的边AB,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:①四边形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF∶BE=2∶3;④S四边形AFOE∶S△COD=2∶3.其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,AE=3.
(1)求EC的长;
(2)求证:AD·AG=AF·AB.
18.(7分)(2024威海期末)如图的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点B的对应点B1的坐标;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形
△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的
坐标;
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标.
19. (8分)(2024青岛期中)如图①,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图②(示意图),小亮在P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
① ②
20.(9分)(2024泰安模拟)如图,点P在△ABC的外部,连接AP,BP,在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,连接PQ.
(1)求证:AC·AP=AB·AQ;
(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系,并说明理由.
21.(10分)(2023温州)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.
(1)求证:BE=CF;
(2)当=,AD=4时,求EF的长.
22.(12分)(1)尝试:如图①,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,C′,连接BB′,CC′,图中有哪对三角形相似(非全等) 给出证明.
(2)拓展:如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′,点B,C的对应点分别为B′,
C′,连接BB′,CC′,若BB′=8,求CC′的长.
(3)应用:如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠ABC=30°,将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转一周,在旋转过程中,当点B的对应点B′恰好落在Rt△ABC的BC边所在的直线上时,直接写出此时点C的运动路径长.
① ②
③
