第二十七章 相似
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法中,错误的是( D )
A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
2.如果2a=5b,那么下列比例式中正确的是( C )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024济南期中)如图,在边长都为1的方格纸上,小明同学绘制了艺术字体“A”,已知点O,M,N都在格点上,点P,Q在格线上,则点P与点Q之间的距离为( D )
A.5 B. C. D.
4.如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列条件后,仍不能判定△ABC∽△ADE的是( C )
A.∠B=∠D
B.∠C=∠AED
C.AB·BC=AD·DE
D.AB·AE=AD·AC
5.如图的两个四边形相似,则下列结论不正确的是( B )
A.∠β=45° B.m=2n
C.x=2 D.∠α=60°
6.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,则下列结论错误的是( D )
A.CD·AB=AC·BC
B.AC2=AD·AB
C.BC2=BD·AB
D.AC·CD=AB·BC
7.如图,在等边三角形ABC中,BC=6,点D是边AB上一点,且BD=2,点P是边BC上一动点(D,P两点均不与端点重合),作∠DPE=60°,PE交边AC于点E.若CE=a,则当满足条件的点P有且只有一个时,a的值为( C )
A.4 B. C. D.5
8.如图,F是线段CD上除端点外的一点,将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得到△ABE,连接EF交AB于点H.下列结论正确的是( D )
A.∠EAF=120°
B.AE∶EF=1∶
C.AF2=EH·EF
D.EB∶AD=EH∶HF
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知a∶b=c∶d,如果a=2,b=3,d=6,那么c= 4 .
10.如图,在平行四边形ABCD中,E是边BC上的一点,AE交BD于点F,若BE=3,EC=2,则= .
11.若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20,且其中一个多边形的最短边长为4,则另一个多边形的最短边长为
8或2 .
12.(2024聊城期中)如图,将△ABC纸片按如图的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF,已知AB=3,AC=4,BC=5,若以B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,则CF的长度是 或 .
三、解答题(共52分)
13.(12分)(2024菏泽期中)如图,在矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于点F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=3,AD=6,BE=4,求DF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠AEB=∠DAE.
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=90°.
∴△ABE∽△DFA.
(2)解:∵AB=3,BE=4,
∴由勾股定理,得AE=5.
∵△ABE∽△DFA,
∴=,
即=,
∴DF=3.6.
14.(13分)如图,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图①,若矩形ABCD的四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗 请说明理由.
(2)如图②,x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似
① ②
解:(1)不相似.
理由如下:
AB=30,A′B′=28,BC=20,B′C′=18,
又≠,
∴图中的两个矩形不相似.
(2)若矩形ABCD与A′B′C′D′相似,
则=或=,
即=或=,
解得x=1.5或x=9.
综上所述,x=1.5或9时,图中的两个矩形相似.
15.(13分)请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.
下面是这个定理的部分证明过程:
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于E.….
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的全部过程;
(2)如图③,已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,求BD的长.(请依照本题题干的定理解答)
① ② ③
解:(1)如题图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E.
∵CE∥DA,
∴=,∠2=∠ACE,∠1=∠E.
又∵∠1=∠2,
∴∠ACE=∠E,
∴AE=AC,
∴=.
(2)如题图③.
∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,
∴AC=5.
∵AD平分∠BAC,
∴=,即=,
∴BD=.
16.(14分)(2024石家庄期末)如图,在 ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)若点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H.
①求证:AH·CH=DH·GH;
②若AG=2,FG=6,求GH的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD∥AB,
∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F.
∵E是AD的中点,
∴DE=AE.
∴△CDE≌△FAE(AAS),
∴CE=EF.
∵AD∥BC,
∴==1,
∴AF=AB.
(2)①证明:∵CD∥AB,
∴∠DCG=∠AGH,∠D=∠DAG,
∴△DCH∽△AGH,
∴=,
∴AH·CH=DH·GH.
②解:∵AG=2,FG=6,
∴AF=FG+AG=6+2=8,
∴AB=AF=8.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=8.
∵∠FCG=∠FCD,∠CFG=∠FCD,
∴∠FCG=∠CFG,∴CG=FG=6.
由①得△DCH∽△AGH,
∴=,即=,
∴GH=1.2.第二十七章 相似
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法中,错误的是( )
A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
2.如果2a=5b,那么下列比例式中正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024济南期中)如图,在边长都为1的方格纸上,小明同学绘制了艺术字体“A”,已知点O,M,N都在格点上,点P,Q在格线上,则点P与点Q之间的距离为( )
A.5 B. C. D.
4.如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列条件后,仍不能判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠B=∠D
B.∠C=∠AED
C.AB·BC=AD·DE
D.AB·AE=AD·AC
5.如图的两个四边形相似,则下列结论不正确的是( )
A.∠β=45° B.m=2n
C.x=2 D.∠α=60°
6.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,则下列结论错误的是( )
A.CD·AB=AC·BC
B.AC2=AD·AB
C.BC2=BD·AB
D.AC·CD=AB·BC
7.如图,在等边三角形ABC中,BC=6,点D是边AB上一点,且BD=2,点P是边BC上一动点(D,P两点均不与端点重合),作∠DPE=60°,PE交边AC于点E.若CE=a,则当满足条件的点P有且只有一个时,a的值为( )
A.4 B. C. D.5
8.如图,F是线段CD上除端点外的一点,将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得到△ABE,连接EF交AB于点H.下列结论正确的是( )
A.∠EAF=120°
B.AE∶EF=1∶
C.AF2=EH·EF
D.EB∶AD=EH∶HF
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知a∶b=c∶d,如果a=2,b=3,d=6,那么c= .
10.如图,在平行四边形ABCD中,E是边BC上的一点,AE交BD于点F,若BE=3,EC=2,则= .
11.若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20,且其中一个多边形的最短边长为4,则另一个多边形的最短边长为
.
12.(2024聊城期中)如图,将△ABC纸片按如图的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF,已知AB=3,AC=4,BC=5,若以B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,则CF的长度是 .
三、解答题(共52分)
13.(12分)(2024菏泽期中)如图,在矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于点F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=3,AD=6,BE=4,求DF的长.
14.(13分)如图,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图①,若矩形ABCD的四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗 请说明理由.
(2)如图②,x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似
① ②
15.(13分)请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.
下面是这个定理的部分证明过程:
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于E.….
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的全部过程;
(2)如图③,已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,求BD的长.(请依照本题题干的定理解答)
① ② ③
16.(14分)(2024石家庄期末)如图,在 ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)若点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H.
①求证:AH·CH=DH·GH;
②若AG=2,FG=6,求GH的长.
