一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(2024日照期末)如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子( C )
A.逐渐变短 B.逐渐变长
C.先变短后变长 D.先变长后变短
2. (2024阜阳模拟)如图,该几何体的左视图是( B )
A B C D
3.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( A )
A.不发生变化 B.变大 C.变小 D.无法确定
4. (2024六安模拟)若关于x的一元二次方程3x2-6x+n=0无实数根,则反比例函数y=的图象所在的象限分别位于( C )
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第一、三象限 D.第三、四象限
5.如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则的值为( A )
A. B. C. D.
6.(衢州中考)西周数学家商高总结了用“矩”(如图①)测量物高的方法:把矩的两边放置成如图②的位置,从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C,记人站立的位置为点B,量出BG长,即可算得物高EG.令BG=x m,EG=y m.若a=30 cm,b=60 cm,AB=1.6 m,则y关于x的函数解析式为( B )
① ②
A.y=x B.y=x+1.6
C.y=2x+1.6 D.y=+1.6
7.(荆州中考)如图,直线y1=kx+1与双曲线y2=在第一象限交于点P(1,t),与x轴、y轴分别交于A,B两点,则下列结论错误的是( D )
A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形
C.k=1 D.当x>1时,y2>y1
8.如图,点P为∠MON的平分线上一点,∠APB的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2.若∠MON=
54°,则∠APB的度数为( A )
A.153° B.144° C.163° D.162°
9.如图,小明在距离地面30 m的点P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面AB坡度为1∶,则斜面AB的长是( B )
A.20 m B.20 m
C.20 m D.15 m
10.(威海中考)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为( C )
A.()3 B.()7 C.()6 D.()6
11.(泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4),四边形ABEF是菱形,且tan∠ABE=.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线l的解析式为( D )
A.y=3x B.y=-x+
C.y=-2x+11 D.y=-2x+12
12.如图,点P是函数y=(k1>0,x>0)的图象上一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点A,B,分别交函数y=(k2>0,x>0)的图象于点C,D,连接OC,OD,CD,AB,其中k1>k2.下列结论:①CD∥AB;
②S△OCD=;③S△DCP=.其中正确的结论是( B )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.计算:cos 60°-2sin2 45°+tan2 30°= 0 .
14.已知点A(a,b)和点B(c,d)是反比例函数y=的图象上两点,并且a<0d,则k的取值范围是 k<-1 .
15. (2024永州模拟)如图(示意图),平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O),灯泡发出的光线照射△ABC后,在地面上形成阴影△DEF.已知灯泡距离地面3 m,灯泡距离纸片1 m,则阴影△DEF与纸片△ABC的面积比为 9∶1 .
16. (2024湖北模拟)将45°的∠AOB按如图的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将38°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.6 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78).
17. (2024淮南期中)如图,甲、乙两楼相距30 m,甲楼高度为40 m,自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°,则乙楼高度为
22.7 m(精确到0.1 m,参考数据:≈1.73).
18.(青岛中考)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G,N为EF的中点,M为BD上一动点,分别连接MC,MN.若=,则MN+MC的最小值为 2 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(2024成都期中)一几何体的三视图如图,求该几何体的
体积.
正(主)视图 侧(左)视图
俯视图
解:由三视图可判断该几何体由一个长方体和一个半圆柱组成,长方体的长宽高分别为10,4,5,半圆柱的高为2,半径为3,
∴长方体的体积为10×4×5=200,半圆柱的体积为×π×32×2=9π,
∴该几何体的体积为200+9π.
20.(10分)(2024沁阳模拟)如图,△ABC和△A1B1C1是位似图形.
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(-5,-1),点C1的坐标为(-2,2),则点B的坐标为 ;
(2)以点A为位似中心,在网格图中将△ABC按相似比缩小,画出
△AB2C2;
(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P,并写出点P的坐标,最后请计算四边形A1B1C1P的周长.
解:(1)如图,点B的坐标为(-1,-5).
(2)如图,△AB2C2为所作.
(3)如图,点P为所作,
∴点P坐标为(-1,1).
∵A1B1==2,
B1C1=A1P==,
PC1==,
∴四边形A1B1C1P的周长=2+++=2+3.
21. (10分)(2024福州模拟)智能饮水机接通电源后开始自动加热,加热到100 ℃时,饮水机自动停止加热,水温开始下降.在水温开始下降的过程中,水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至室温时,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃,接通电源后,水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系
如图.
(1)求当4(2)加热一次,水温不低于40 ℃的时间有多长
解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
将点(4,100)代入反比例函数解析式得k=4×100=400,
故函数解析式为y=,
当y=20时,y==20,
则x=20=a,
即函数解析式为y=(4(2)设0≤x≤4时,函数的解析式为y=mx+20,
将点(4,100)代入上式得100=4m+20,
解得m=20,
即一次函数的解析式为y=20x+20,
令y=20x+20=40,
解得x=1.
在降温过程中,水温为40 ℃时,40=,
解得x=10.
∵10-1=9,
∴加热一次,水温不低于40 ℃的时间为9 min.
22.(10分)(上海中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.
证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵CF=BE,∴CF-EF=BE-EF,即CE=BF.
在△ACE和△ABF中,
∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠CAE=∠BAF.
(2)由(1)知,AE=AF,∠CAE=∠BAF.
∵AE2=AQ·AB,AC=AB,∴=,∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF.
∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠BQF=∠AFE.
又∵∠B=∠C,∴△CAF∽△BFQ,∴=,即CF·FQ=AF·BQ.
23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点,与x轴交于点C,点A的坐标为(1,m),点B的坐标为(n,-1),连接AO,BO,tan∠BOC=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出关于x的不等式ax+b<的解集;
(3)求△ABO的面积.
解:(1)如图,过点B作BH⊥x轴于点H.
∵点B的坐标为(n,-1),tan∠BOC=.
∴BH=1,tan∠BOH==,
∴OH=3,
∴点B的坐标为(-3,-1).
把B(-3,-1)代入y=(k≠0),得k=-3×(-1)=3,
∴反比例函数的解析式为y=.
把A(1,m)代入y=,得m=3,
∴点A的坐标为(1,3).
把A(1,3)和B(-3,-1)分别代入y=ax+b,得
解得
∴一次函数的解析式为y=x+2.
(2)由图象,可知关于x的不等式ax+b<的解集为x<-3或0(3)把y=0代入y=x+2,得x+2=0,
解得x=-2,
∴点C的坐标为(-2,0),
∴S△ABO=S△ACO+S△BOC=×2×3+×2×1=4.
24.(14分)(2023资阳)如图,在某机场的地面雷达观测站O,观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°,飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处,此时观测到飞机的仰角为60°,飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处,此时观测到飞机的仰角为60°.已知OA=9千米.(A,B,C,O,M,N在同一竖直平面内)
(1)求O,B两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分,求飞机从点B飞行到点C所用的时间.(≈1.414,结果精确到0.01)
解:(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,如图.
由题意,得∠AOM=45°,∠BOM=60°,AD∥MN,
∴∠A=∠AOM=45°,∠DBO=∠BOM=60°.
在Rt△ADO中,OA=9 千米,
∴OD=OA·sin 45°=9×=9(千米).
在Rt△BDO中,OB===6(千米),
∴O,B两点之间的距离为6千米.
(2)如图,过点B作BE⊥OC,垂足为E,
由题意,得∠CBD=15°,∠BOM=60°,∠CON=60°,
∴∠BOC=180°-∠BOM-∠CON=60°.
∵∠DBO=60°,
∴∠CBO=∠CBD+∠DBO=75°,
∴∠C=180°-∠CBO-∠BOC=45°.
在Rt△BOE中,OB=6千米,
∴BE=OB·sin 60°=6×=9(千米).
在Rt△BCE中,BC===9(千米).
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间=≈1.06(分),
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间约为1.06分.
25.(14分)如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在AD上,AE=AB,EC与BD相交于点F,且BD⊥EC.连接BE,AF,并延长AF交CD于点G.
(1)求证:△AFD∽△BED;
(2)求∠DFG的度数;
(3)若AD=1,求AB的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,BD⊥EC,
∴∠DFE=∠DAB=90°.
∵∠FDE=∠ADB,
∴△FDE∽△ADB,
∴=.
又∵∠EDB=∠FDA,
∴△AFD∽△BED.
(2)解:∵△AFD∽△BED,
∴∠DFA=∠DEB,
∴∠BEA=∠BFA.
∵AE=AB,∠DAB=90°,
∴∠BEA=45°,
∴∠BFA=45°,
∴∠DFG=∠BFA=45°.
(3)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠CDE=∠DAB=90°.
∵BD⊥EC,
∴∠ADB=∠DCE,
∴△CDE∽△DAB,
∴=.
设AB的长为x,则DE=1-x,
∴=,
解得x1=,x2=(舍去),
∴AB的长为.一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(2024日照期末)如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子( )
A.逐渐变短 B.逐渐变长
C.先变短后变长 D.先变长后变短
2. (2024阜阳模拟)如图,该几何体的左视图是( )
A B C D
3.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( )
A.不发生变化 B.变大 C.变小 D.无法确定
4. (2024六安模拟)若关于x的一元二次方程3x2-6x+n=0无实数根,则反比例函数y=的图象所在的象限分别位于( )
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第一、三象限 D.第三、四象限
5.如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则的值为( )
A. B. C. D.
6.(衢州中考)西周数学家商高总结了用“矩”(如图①)测量物高的方法:把矩的两边放置成如图②的位置,从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C,记人站立的位置为点B,量出BG长,即可算得物高EG.令BG=x m,EG=y m.若a=30 cm,b=60 cm,AB=1.6 m,则y关于x的函数解析式为( )
① ②
A.y=x B.y=x+1.6
C.y=2x+1.6 D.y=+1.6
7.(荆州中考)如图,直线y1=kx+1与双曲线y2=在第一象限交于点P(1,t),与x轴、y轴分别交于A,B两点,则下列结论错误的是( )
A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形
C.k=1 D.当x>1时,y2>y1
8.如图,点P为∠MON的平分线上一点,∠APB的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,∠APB绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2.若∠MON=
54°,则∠APB的度数为( )
A.153° B.144° C.163° D.162°
9.如图,小明在距离地面30 m的点P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面AB坡度为1∶,则斜面AB的长是( )
A.20 m B.20 m
C.20 m D.15 m
10.(威海中考)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A.()3 B.()7 C.()6 D.()6
11.(泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4),四边形ABEF是菱形,且tan∠ABE=.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线l的解析式为( )
A.y=3x B.y=-x+
C.y=-2x+11 D.y=-2x+12
12.如图,点P是函数y=(k1>0,x>0)的图象上一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点A,B,分别交函数y=(k2>0,x>0)的图象于点C,D,连接OC,OD,CD,AB,其中k1>k2.下列结论:①CD∥AB;
②S△OCD=;③S△DCP=.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.计算:cos 60°-2sin2 45°+tan2 30°= .
14.已知点A(a,b)和点B(c,d)是反比例函数y=的图象上两点,并且a<0d,则k的取值范围是 .
15. (2024永州模拟)如图(示意图),平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O),灯泡发出的光线照射△ABC后,在地面上形成阴影△DEF.已知灯泡距离地面3 m,灯泡距离纸片1 m,则阴影△DEF与纸片△ABC的面积比为 .
16. (2024湖北模拟)将45°的∠AOB按如图的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将38°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78).
17. (2024淮南期中)如图,甲、乙两楼相距30 m,甲楼高度为40 m,自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°,则乙楼高度为
m(精确到0.1 m,参考数据:≈1.73).
18.(青岛中考)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G,N为EF的中点,M为BD上一动点,分别连接MC,MN.若=,则MN+MC的最小值为 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(2024成都期中)一几何体的三视图如图,求该几何体的
体积.
正(主)视图 侧(左)视图
俯视图
20.(10分)(2024沁阳模拟)如图,△ABC和△A1B1C1是位似图形.
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(-5,-1),点C1的坐标为(-2,2),则点B的坐标为 ;
(2)以点A为位似中心,在网格图中将△ABC按相似比缩小,画出
△AB2C2;
(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P,并写出点P的坐标,最后请计算四边形A1B1C1P的周长.
21. (10分)(2024福州模拟)智能饮水机接通电源后开始自动加热,加热到100 ℃时,饮水机自动停止加热,水温开始下降.在水温开始下降的过程中,水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至室温时,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃,接通电源后,水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系
如图.
(1)求当4(2)加热一次,水温不低于40 ℃的时间有多长
22.(10分)(上海中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.
23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点,与x轴交于点C,点A的坐标为(1,m),点B的坐标为(n,-1),连接AO,BO,tan∠BOC=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出关于x的不等式ax+b<的解集;
(3)求△ABO的面积.
24.(14分)(2023资阳)如图,在某机场的地面雷达观测站O,观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°,飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处,此时观测到飞机的仰角为60°,飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处,此时观测到飞机的仰角为60°.已知OA=9千米.(A,B,C,O,M,N在同一竖直平面内)
(1)求O,B两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分,求飞机从点B飞行到点C所用的时间.(≈1.414,结果精确到0.01)
25.(14分)如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在AD上,AE=AB,EC与BD相交于点F,且BD⊥EC.连接BE,AF,并延长AF交CD于点G.
(1)求证:△AFD∽△BED;
(2)求∠DFG的度数;
(3)若AD=1,求AB的长.
