一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(2024曲靖模拟)下列各几何体的俯视图中,不是中心对称图形的是( D )
A B C D
2. (2024保定期末)如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=的图象与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为( D )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
3.下列关于正投影的说法正确的是( B )
A.如果一个物体的正投影是圆,那么这个物体是球
B.不同物体的正投影可以相同
C.圆锥的正投影是等腰三角形
D.圆纸片的正投影是圆
4.(凉山中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为( C )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
5. (2024重庆期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=12∶13,则tan A的值是( A )
A. B. C. D.
6.如图是大坝的横断面,斜坡AB的坡比i=1∶2,斜坡CD的坡比i=1∶1.若坡面CD的长度为6 米,则斜坡AB的长度为( C )
A.4 米 B.6 米 C.6 米 D.24 米
7. (2024铜仁模拟)如图,以点O为位似中心,将△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,下列说法中,错误的是( A )
A.AO∶AA′=1∶2 B.AC∥A′C′
C.S△ABC∶S△A′B′C′=1∶4 D.A,O,A′三点在同一条直线上
8. (2024亳州模拟)反比例函数y=与二次函数y=-kx2+x-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( C )
A B
C D
9.(2024山东)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为( B )
A. B.3 C. D.4
10.某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动,如图,此时无人机在离地面30米的点D处,操控者站在点A处,无人机测得点A的俯角为30°.测得教学楼顶点C处的俯角为45°,操控者和教学楼BC的距离为60米,则教学楼BC的高度是( C )
A.(60-30)米 B.30 米
C.(30-30)米 D.(30-15)米
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点.若动点E以1 cm/s的速度从点A出发,沿A→B→A运动,设点E的运动时间为 t(0≤t<6)s,连接DE,当△BDE为直角三角形时, t的值为( D )
A.2 B.2.5或3.5
C.3.5或4.5 D.2,3.5或4.5
12.如图,在△OAB中,∠BOA=45°,点C为边AB上一点,且BC=2AC.如果函数y=(x>0)的图象经过点B和点C,那么下列坐标表示的点,在直线BC上的是( D )
A.(-2 019,674) B.(-2 020,675)
C.(2 021,-669) D.(2 022,-670)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,将△ABC按相似比2放大,则点B的对应点的坐标是 (4,2)或(-4,-2) .
14.如图是某几何体的三视图,根据图中数据计算这个几何体的侧面积为 12π .
15.(连云港中考)如图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点A,B,C都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则sin A= .
16. (2024长沙模拟)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(2,3),与反比例函数y=的图象在第一象限交于点Q(m,n).若一次函数y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是 17.如图,图①是液体沙漏的立体图形,图②和图③是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体高度与液面距离水平面高度的平面示意图,则图③中AB= cm.
①
② ③
18.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在反比例函数y=-(x<0)的图象上,且OA⊥OB,线段AB交反比例函数y=(x>0)的图象于另一点C,连接OC.若点C为AB的中点,则tan∠OCA的值为 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(1)计算:4sin 60°-3tan 30°+2cos 45°·sin 45°;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,求∠A的正弦值、余弦值和正切值.
解:(1)原式=4×-3×+2××
=2-+1
=+1.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===13,
∴sin A==,cos A==,tan A==.
20.(10分)学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时刻,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方点H处,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
解:(1)如图,点G即为所求.
(2)如图,由题意,得△ABC∽△GHC,
∴=,
即=,
解得GH=4.8 m,
∴路灯灯泡的垂直高度GH为4.8 m.
21.(10分)如图,在平面直角坐标系中, ABCD的边AD=6.若OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.
(1)求OA,OB的长;
(2)若x轴上有一个点E满足S△AOE=,求证:△AOE∽△DAO.
(1)解:∵x2-7x+12=0,∴(x-3)(x-4)=0,
∴x1=3,x2=4,∴OA=4,OB=3.
(2)证明:∵S△AOE=,∴OA·OE=,即×4OE=,
∴OE=,∴E(-,0)或(,0).
∵==,==,∴=.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∵∠AOE=90°,∴OE⊥OA,即BC⊥OA,
∴OA⊥AD,∴∠DAO=90°,∴∠AOE=∠DAO,
∴△AOE∽△DAO.
22.(11分) (2024聊城模拟)如图,一货船从港口A出发,以40
海里/时的速度向正北方向航行,经过1小时到达B处,测得小岛C在B的东北方向,且在点A的北偏东30°方向.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80)
(1)求BC的距离(结果保留整数);
(2)由于货船在B处突发故障,于是立即以30海里/时的速度沿BC赶往小岛C维修,同时向维修站D发出信号,在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料,之后以50海里/时的速度沿DC前往小岛C,已知D在A的正东方向上,C在D的北偏西37°方向,通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟,请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C.
解:(1)如图,过C作CM⊥AB交AB延长线于M.
由题意,得AB=40×1=40(海里),
在Rt△BCM中,∠CBM=45°,
∴MC=MB.
设MC=MB=x海里,则MA=(x+40)海里.
在Rt△ACM中,tan 30°=tan∠CAM==,∴=,
解得x=20+20,∴MB=MC=(20+20)海里.
在Rt△MBC中,MB2+MC2=BC2,
∴BC==(20+20)≈77(海里).
(2)如图,过点C作CH⊥AD于H,ND⊥AD于点D.
∵CM=(20+20)海里,∴AH=CM=(20+20)海里.
∵AM∥CH,∴∠1=∠CAM=30°,∴tan∠1==,
∴CH=AH=(20+20)=(60+20)(海里).
∵CH∥DN,∠NDC=37°,∴∠2=∠NDC=37°,
∴cos∠2=cos 37°=≈0.8,∴CD≈=CH=(75+25)海里.
货船从B到C用时77÷30=(小时).
∵6分钟=小时,∴-==(小时),
∴×50=≈123(海里).
∵CD≈75+25≈118(海里).
∴维修船能在货船之前到达小岛C.
23. (12分)(2024上海期末)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,
∠ABC=90°,对角线AC,B D相交于点O,AD=2,AB=3,BC=4.
(1)求△BOC的面积;
(2)求∠ACD的正弦值.
解:(1)如图,过点O作AB的平行线,分别与AD,BC交于点M,N.
∵AD∥BC,MN∥AB,
∴四边形ABNM是平行四边形.
又∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABNM是矩形,
∴OM⊥AD,ON⊥BC.
∵AD∥BC,
∴△AOD∽△COB,
∴===.
又∵MN=AB=3,
∴OM=1,ON=2,
∴S△BOC=BC·ON=×4×2=4.
(2)在Rt△ABC中,
AC==5.
如图,过点D作BC的垂线,垂足为E,过点A作CD的垂线,垂足为F.
在Rt△CDE中,
CD==.
∵S△ACD=×2×3=××AF,
∴AF=.
在Rt△CAF中,
sin∠ACD===.
24.(13分)(遂宁中考)已知一次函数y1=ax-1(a为常数)的图象与x轴交于点A,与反比例函数y2=的图象交于B,C两点,点B的横坐标为-2.
(1)求出该一次函数的解析式并在图中画出它的图象;
(2)求出点C的坐标,并根据图象写出当y1(3)若点B与点D关于原点成中心对称,求出△ACD的面积.
解:(1)∵点B的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上,
∴y==-3,
∴点B的坐标为(-2,-3).
∵点B(-2,-3)在一次函数y1=ax-1的图象上,
∴-3=a×(-2)-1,
解得a=1,
∴一次函数的解析式为y1=x-1.
∵y1=x-1,
∴x=0时,y=-1;x=1时,y=0.
∴一次函数图象过点(0,-1),(1,0),函数图象如图.
(2)联立两函数解析式,得
解得或
∵一次函数y1=ax-1(a为常数)与反比例函数y2=的图象交于B,C两点,点B的横坐标为-2,
∴点C的坐标为(3,2).
由图象可知,当y1(3)如图,连接AD,CD,过点D作DF⊥x轴交AC于点E.
∵点B(-2,-3)与点D关于原点成中心对称,
∴点D(2,3).
将x=2代入y1=x-1,得y=1,
∴E(2,1),
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC=+=2,
即△ACD的面积是2.
25.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,点D是AC的中点,连接BD并延长至点E,使∠E=∠BAC.
(1)求sin∠ABE的值;
(2)求点E到直线BC的距离.
解:(1)如图①,过点D作DF⊥AB于点F.
∵∠C=90°,AB=4,BC=2,
∴AC==2,sin∠BAC=,
∴∠BAC=30°.
∵点D是AC的中点,
∴AD=CD=,
∴BD==.
在Rt△ADF中,DF=AD·sin∠BAC=.
在Rt△BDF中,sin∠ABE==.
(2)如图②,过点A作AH⊥BE于点H,过E作EG∥AC交BC延长线于
点G.
∵∠ADH=∠BDC,∠BCD=∠AHD=90°,
∴△BCD∽△AHD,
∴==.
∵BC=2,CD=AD=,BD=,
∴==,
解得AH=,HD=.
∵∠AEB=∠BAC=30°,
∴HE==,
∴BE=BD+DH+HE=.
∵EG∥AC,∴∠BDC=∠BEG.
又∵∠CBD=∠GBE,
∴△GBE∽△CBD,
∴=,即=,
∴EG=,
即点E到直线BC的距离为.一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(2024曲靖模拟)下列各几何体的俯视图中,不是中心对称图形的是( )
A B C D
2. (2024保定期末)如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=的图象与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
3.下列关于正投影的说法正确的是( )
A.如果一个物体的正投影是圆,那么这个物体是球
B.不同物体的正投影可以相同
C.圆锥的正投影是等腰三角形
D.圆纸片的正投影是圆
4.(凉山中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
5. (2024重庆期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=12∶13,则tan A的值是( )
A. B. C. D.
6.如图是大坝的横断面,斜坡AB的坡比i=1∶2,斜坡CD的坡比i=1∶1.若坡面CD的长度为6 米,则斜坡AB的长度为( )
A.4 米 B.6 米 C.6 米 D.24 米
7. (2024铜仁模拟)如图,以点O为位似中心,将△ABC按相似比2放大得到△A′B′C′,下列说法中,错误的是( )
A.AO∶AA′=1∶2 B.AC∥A′C′
C.S△ABC∶S△A′B′C′=1∶4 D.A,O,A′三点在同一条直线上
8. (2024亳州模拟)反比例函数y=与二次函数y=-kx2+x-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A B
C D
9.(2024山东)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为( )
A. B.3 C. D.4
10.某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动,如图,此时无人机在离地面30米的点D处,操控者站在点A处,无人机测得点A的俯角为30°.测得教学楼顶点C处的俯角为45°,操控者和教学楼BC的距离为60米,则教学楼BC的高度是( )
A.(60-30)米 B.30 米
C.(30-30)米 D.(30-15)米
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点.若动点E以1 cm/s的速度从点A出发,沿A→B→A运动,设点E的运动时间为 t(0≤t<6)s,连接DE,当△BDE为直角三角形时, t的值为( )
A.2 B.2.5或3.5
C.3.5或4.5 D.2,3.5或4.5
12.如图,在△OAB中,∠BOA=45°,点C为边AB上一点,且BC=2AC.如果函数y=(x>0)的图象经过点B和点C,那么下列坐标表示的点,在直线BC上的是( )
A.(-2 019,674) B.(-2 020,675)
C.(2 021,-669) D.(2 022,-670)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,将△ABC按相似比2放大,则点B的对应点的坐标是 .
14.如图是某几何体的三视图,根据图中数据计算这个几何体的侧面积为 .
15.(连云港中考)如图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点A,B,C都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则sin A= .
16. (2024长沙模拟)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(2,3),与反比例函数y=的图象在第一象限交于点Q(m,n).若一次函数y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是 .
17.如图,图①是液体沙漏的立体图形,图②和图③是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体高度与液面距离水平面高度的平面示意图,则图③中AB= cm.
①
② ③
18.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在反比例函数y=-(x<0)的图象上,且OA⊥OB,线段AB交反比例函数y=(x>0)的图象于另一点C,连接OC.若点C为AB的中点,则tan∠OCA的值为 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)(1)计算:4sin 60°-3tan 30°+2cos 45°·sin 45°;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,求∠A的正弦值、余弦值和正切值.
20.(10分)学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时刻,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方点H处,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
21.(10分)如图,在平面直角坐标系中, ABCD的边AD=6.若OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.
(1)求OA,OB的长;
(2)若x轴上有一个点E满足S△AOE=,求证:△AOE∽△DAO.
22.(11分) (2024聊城模拟)如图,一货船从港口A出发,以40
海里/时的速度向正北方向航行,经过1小时到达B处,测得小岛C在B的东北方向,且在点A的北偏东30°方向.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80)
(1)求BC的距离(结果保留整数);
(2)由于货船在B处突发故障,于是立即以30海里/时的速度沿BC赶往小岛C维修,同时向维修站D发出信号,在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料,之后以50海里/时的速度沿DC前往小岛C,已知D在A的正东方向上,C在D的北偏西37°方向,通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟,请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C.
23. (12分)(2024上海期末)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,
∠ABC=90°,对角线AC,B D相交于点O,AD=2,AB=3,BC=4.
(1)求△BOC的面积;
(2)求∠ACD的正弦值.
24.(13分)(遂宁中考)已知一次函数y1=ax-1(a为常数)的图象与x轴交于点A,与反比例函数y2=的图象交于B,C两点,点B的横坐标为-2.
(1)求出该一次函数的解析式并在图中画出它的图象;
(2)求出点C的坐标,并根据图象写出当y1(3)若点B与点D关于原点成中心对称,求出△ACD的面积.
25.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,点D是AC的中点,连接BD并延长至点E,使∠E=∠BAC.
(1)求sin∠ABE的值;
(2)求点E到直线BC的距离.
