人教版九年级下册数学第26-27章阶段测试卷（含解析）

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第26-27章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（ ）．
A． B． C． D．
4．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，为的角平分线，若，，则与的面积比为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象在第一、三象限内
C．在图象的每个象限内，随的增大而增大
D．若，则0＜
7．如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图所示是钢材质人字梯的侧面示意图，是人字梯两条斜撑的连接点，，是人字梯两条斜撑的触地点，，，，是人字梯后斜撑上的分割点，且，，，，，是人字梯前斜撑上的分割点，且，若，则人字梯前斜撑触地点到连接点的钢材长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知：，则 ．
10．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则a的值是 ．
11．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知动力和动力臂分别为和，阻力为，阻力臂为，则阻力关于阻力臂的函数表达式为 ．
12．如图，在中，于点E，点F在上，且，连接交于点G，则的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为12，则的值为 ．
14．如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ．

15．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ．
16．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为 ．
三、解答题
17．已知函数为反比例函数．
(1)求的值．
(2)判断点是否在该反比例函数图象上．
18．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
19．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系，结果如下表所示．
桌面所受压强 50 100 200 400
受力面积 2 1
(1)根据如表数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式．
(2)现将相同质量，且边长为的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
20．如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C．
(1)求证：
(2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径．
21．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
(3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
22．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点P在上，点M为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，以为边画菱形；再在上找点Q，使；
(2)在图2中，在边上画一点N，使；
(3)在图3中，画线段，使．
23．学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“全等三角形与相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，在矩形中，点E是线段延长线上的一点，连接，过点A作交射线于点F．
(1)【知识回顾】如图1，当时，与之间的数量关系是：______；
(2)【类比探究】如图2，当（且）时，试判断与之间的数量关系，并说明理由（用含k的式子表示）；
(3)【拓展应用】若，连接交于点G，连接，当时，直接写出的长．
24．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式；
(2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标．
《第26-27章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D D C A B
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解析式形如的函数叫做关于的反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可得出答案．
【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意；
B、是反比例函数，符合题意；
C、不是反比例函数，不符合题意；
D、不是反比例函数，不符合题意，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵，
∴．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，由，得到，可判断A选项不符合题意，D选项符合题意；证明，可判断BC选项不符合题意，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，即，故A选项不符合题意，D选项符合题意；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，故BC选项不符合题意，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数大符号是解题的关键．
根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴，
解得，，
故选：D ．
5．D
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由为的角平分线，得，而，所以，因为，，所以，由此求出答案．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，
∴图象必经过点，正确，不符合题意；
B、，
∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意；
C、，
∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
D、∵当时，，
，正确，不符合题意，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可．
【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当点在上时，的值最小，此时的值最小，
点，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查平行线分线段成比例、比例性质，根据平行线分线段成比例正确得到比例式是解答的关键．先求得，再根据平行线分线段成比例得到，进而利用比例性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了比例的性质，利用设k法进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，
∴
，
故答案为：．
10．3
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于轴、轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值．根据题意，设出点和点的坐标，再根据点与点关于轴对称，即可求得的值．
【详解】解：设点的坐标，点的坐标为，
点与点关于轴对称，
，
解得，
故答案为：3．
11．
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定定理和性质，过点F作于点M，根据勾股定理得，根据等积关系得，分别证明，，，根据相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：如图，过点F作于点M，
在中，于点E，，
根据勾股定理得
，
∵，
∴．
∵
∴,
∴，即
，
．
∵
∴,
∴
∵,
∴，
∴，
．
于点M，于点E，
，
，即
．
故答案为：
13．
【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为，即可求出的值．本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．
【详解】解：连接交于，
四边形是菱形，
，
菱形的面积，
顶点在反比例函数的图象上，
，
解得．
∵反比例函数图象在第二象限，则
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解．
【详解】解；根据题意，，
在矩形中，，则
①当时，，有：，解得，
即当时，；
②当时，，有：，解得，
即当时，；
所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
15．1
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案．
【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图
点在双曲线上，点在双曲线上，且轴
，
和同底等高
故答案为：1．
16．6
【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，再根据相似三角形的性质列式计算即可．
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
【详解】解：，
．
和是以点为位似中心的位似图形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：6．
17．(1)
(2)点不在该反比例函数图象上
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据反比例函数的定义得且，求解即可；
把代入反比例函数求得的y值，即可判断．
【详解】（1）解： 反比例函数为，
且，
解得：．
（2）由（1）可知：．
当时，代入上式得：
点不在该反比例函数图象上．
18．的长为或2或10．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验符合题意，
若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验，符合题意，
综上所述，的长度为或2或10．
19．(1)
(2)安全，理由见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，
故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，将代入，
解得 ，
∴；
（2）这种摆放方式安全，理由如下：
由题意可知，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
，
∵，
∴这种摆放方式安全．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查三角形外接圆和切线性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；
（1）连接并延长，交于点E，根据外接圆和切线性质得到，推出，利用三角形的内角和定理即可证出；
（2）由（1）得，根据相似性质得，计算得到，在中，由勾股定理，得，连接，在中，由勾股定理，得 ，代入数值计算即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E．
∵是的外接圆，，
所以．
又∵是的切线，
∴，．
所以．
所以，
∴
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
所以．
因为，
所以，
在中，由勾股定理，得，
连接，
设的半径为r，则
所以
在中，由勾股定理，
得 ，
所以
解得
∴半径为．
21．(1)，
(2)点P坐标为
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题．
（1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出，根据，又，解得：，则，即可求出答案；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格特点和勾股定理，取格点D、E，则，可得到菱形；根据菱形的性质得到垂直平分，根据轴对称图形性质连接，交于F，连接并延长交于，由得到，即可求解；
（2）取格点，则四边形为平行四边形，则，可知，则，则，同理，则，故，可得四边形为平行四边形，那么，故；
（3）取格点，连接与交点为点H，则四边形为平行四边形，那么，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形和点即为所求作；
（2）解：如图，点N即为所作：
（3）解：如图，线段即为所求作．
【点睛】本题考查无刻度的直尺在给定网格中完成画图，涉及平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)AF与AE之间的数量关系是：（或），理由见解析
(3)或
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在上时，证得，得出求出．由可得出，求出，则可得出答案；
②如图2，当点F在的延长线上时，同理可求出的长
【详解】（1）解：结论：．
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：与之间的数量关系是：．
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（3）解：①如图1，当点F在边上时，
∵四边形矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
②如图2，当点F在的延长线上时，，
在中，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
（3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案；
【详解】（1）解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数表达式为，
，得，
，
将点和点代入得，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
设，代入得，
解得，
令，得
；
（3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，即，
解得：，，
∴或.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键.
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