北师大版九年级下册数学第1-2章阶段测试卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第1-2章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，是的高．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
2．已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边铜架的立柱于点D，长6m．现将铜架立柱缩短成，则钢架立柱缩短的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的最大值为25，则将此函数平移后可能得到的函数表达式为：（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
6．关于的二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在正方形中，长为，分别以，为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，交于点，再分别以，为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，分别与，交于点、，那么四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，则 ．
10．已知抛物线．点，在抛物线总有，则b的取值范围是 ．
11．如图，，，点在边上，，，分别交于点，．若，则 （用含的式子表示）．
12．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到，则的周长的最小值为 。
13．在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为 ．（用“<”号连接）
14．如图，抛物线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是
15．如图，将沿矩形中过点的一条直线折叠，折痕交直线于点（点不与点重合），点的对称点落在矩形的对角线上，与交于点，连接．若，，则的长为 ．
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）
19．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围．
20．为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱．
(1)试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
(2)当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？
21．抛物线（为常数）的顶点为．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)经过探究发现，随着的变化，点始终在某一抛物线上，若将抛物线向右平移个单位后，所得抛物线顶点仍在抛物线上．
①求与之间的关系；
②若在时，都有随的增大而减小，设抛物线的顶点为，求直线与轴交点的横坐标的最大值．
22．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，学校开辟“丰收菜园””基地．如图①是一个蔬菜大棚的横截面，它由抛物线上的一段和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点E到地面的距离为8米．
(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（不写自变量取值范围）
(2)如图②所示，用三根钢管加固大棚，P、N都在抛物线上，且平行于地面，都垂直于地面，为了筹备材料，请测算出“脚手架”三根钢管之和最大时的长度．
23．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由；
②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积．
24．综合与探究
问题情境：
在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内．
猜想证明：
（1）如图，连接并延长，交边于点求证：．
（2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由．
问题解决：
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积．
《第1-2章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C A C B C
1．A
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是．
∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，
∴，
解得．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，解直角三角形，掌握特殊角的三边关系是解题的关键．
根据解直角三角形求出的长，从而得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，根据函数的最大值求出的值，根据平移后抛物线的开口方向和大小均不变，进行判断即可．
【详解】解：∵有最大值为25，
∴，，
解得：，
∵平移后抛物线的开口方向和大小均不变，即的值不变，
∴将此函数平移后可能得到的函数表达式为：；
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：连接交于点F，设，则；由矩形的性质和勾股定理可得；再根据折叠的性质可得、垂直平分，易得，再根据勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：如图：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，
∵，
∴，解得： ，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．
根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可．
【详解】解：在中
∵，
∴函数图象开口向上．
∵选项D中图象开口向下，故该选项不符合题意；
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，
选项B的对称轴在y轴左侧，故该选项不符合题意；
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
选项A的函数图象与轴无交点，故该选项不符合题意；
选项C的函数图象与轴有两个交点，故该选项符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】过点作，易得四边形为平行四边形，根据作图可知垂直平分，垂直平分，证明，得到，根据，求出的长，进而求出的长，利用梯形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作，
∵正方形，
∴，
由作图可知：垂直平分，垂直平分，则：四边形为矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为；
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③．
【详解】解：由题意得：，，
，，
，，
当时，，故①正确；
当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确；
，，
当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误；
故选：．
9．
【分析】本题主要考查三角函数的求值方法，掌握三角函数的计算方法，图形几何分析是解题的关键．如图所示，根据，设，则，运用勾股定理可求出的值，根据正弦值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图，
∵，则，
∴设，则，
∵是直角三角形，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．分别代入点，到抛物线，得出，，结合列出不等式，解不等式即可求出b的取值范围．
【详解】解：代入到，得，
代入到，得，
，
，
解得：．
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查全等三角形得性质，解直角三角形，
首先由全等得到，然后得到，推出，然后结合即可求解．
【详解】
．
．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠性质，平移的性质，解直角三角形，连接．证明四边形是平行四边形，推出，推出的周长，可知最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，求出的长即可解决问题，关键是求出的最小值．
【详解】解：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
的周长，
最小时，的周长最小，
作点关于直线的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，
设交于．
将沿直线翻折，
，
,
，
则，
，
过点作交的延长线于，
，
则，，
．
的最小值为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握抛物线开放向向下时，距离对称轴越远的点的函数值越小成为解题的关键．
先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象的性质求解即可．
【详解】解：∵函数（为常数），
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，
∵，
∴．
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查利用图象解不等式，利用数形结合的思想是解题关键．
直线在抛物线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当或时，直线在抛物线的上方，
关于x的不等式的解集是：或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，继而得到得出，得到计算即可得到答案．
【详解】在矩形中，，，
，
由折叠的性质可知，，
，
．
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
17．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的加减；
先根据乘方，零次幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质进行化简，再计算即可．
【详解】解：原式
．
18．(1)米
(2)分钟
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角以及三角函数的定义是解题的关键；
（1）过点作于点，过点作于点，分别求得，即可求解；
（2）小亮和小明分别位于点，设分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上，根据题意得出，进而表示出两人的路程，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
依题意，四边形是矩形，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
在中，
∴（米）
（2）如图所示，小亮和小明分别位于点，设分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上，
依题意，，
∴
∴，
设
在中，，
∴
小明的路程为：，即，
解得：
小亮的路程为：
即
解得：分钟
19．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象：
（1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；
（3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵
∴；
当，即点在上时，过点作于，
由题意得：，
∴，
∴；
当，即点在上时，
∴
∴；
综上所述，；
（2）解：列表格如下：
x 0 2 6
y 6 0
如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当时，y有最大值；
（3）如图所示，
当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，
即，解得
当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，
即，解得
根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，
综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点
20．(1)
(2)当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元
(3)超市每天至少销售水果210箱
【分析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系式是关键．
（1）根据“售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱”即可得出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=一箱水果所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种水果的每箱售价不得高于65元，且每天获得不低于2030元的利润，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：，
，，
当时，元，
即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元；
（3）解：由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，
又，
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售水果210箱．
21．(1)
(2)①；②直线与轴交点的横坐标的最大值为
【分析】本题主要考查二次函数图像和性质，顶点式，以及抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将二次函数化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）求出抛物线，向右平移个单位后，抛物线为；
①得到，整理得到，即可计算出答案；
②设直线的表达式为，代入点，由题意求出，点的坐标得，求出，当时，有最大值，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
顶点；
（2）解：由点的坐标可知，抛物线，
抛物线向右平移个单位后，抛物线为，
此时的顶点，
①抛物线顶点仍在抛物线上，
，
整理得，即．
，
；
②在时，都有随的增大而减小，
对称轴，
抛物线，
，
设直线的表达式为，代入点，
点的坐标得，
解得，
，
当时，，
又，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
直线与轴交点的横坐标的最大值为．
22．(1)
(2)米
【分析】本题是二次函数综合题，考查的是待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式．
（1）由题意可得出顶点E的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点A的坐标代入即可求出；
（2）设N点坐标，则，，表示出三根钢管之和，即可得出当时，三根钢管的总长度之和最大，代入求出结果即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
（米），
∴点，点，
根据题意和图象可得，顶点E的坐标为，
∴可设抛物线的解析式为：，
把点代入解析式可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设N点坐标，
则，，
三根钢管的总长度，
当时，三根钢管的总长度之和最大，
米．
23．(1)
(2)①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为．
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
（1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：，，且点、在抛物线上，
∴，
解得，
该抛物线所对应的函数关系式为；
（2）解：①存在，理由如下：
令，得，
解得：，
，
如图2中，
已知，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
点在抛物线上，且轴，点N在直线的上，
设点的坐标为，则点的坐标为，
又点在第一象限，
∴
，
∵
当时，
线段的长度的最大值为；
②解：如图3中，
由题意知，点在线段的垂直平分线上，
又由①知，，
的中垂线同时也是的平分线，
∴点P到坐标轴的距离相等，
设点的坐标为，
又点在抛物线上，于是有，
，
解得，，
点的坐标为：或，
若点的坐标为，此时点在第一象限，
在和中，，
，
若点的坐标为，此时点在第三象限，
则．
综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为．
24．（1）见解析；（2）四边形是矩形；理由见解析；（3）
【分析】（1）设和相交于点O，证明，即可得到；
（2）证明，即可证明四边形是矩形；
（3）连接交于点G，求出，证明，得到，由等积法求出，由求出，即可求出，得到四边形的面积．
【详解】（1）证明：如图，设和相交于点，
四边形是正方形，
，，
，
由折叠可知，垂直平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：四边形是矩形；理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
是边的中点，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（3）解：连接交于点，如图，
四边形是正方形，
，
是边的中点，
，
由（2）得，，，
，，
，
，
由折叠可知：，
，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，
，，
，
，
，
，
由折叠可知：，，
，，
，
，
解得，
，
，
四边形的面积为．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识，添加必要的辅助线构造全等是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)