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第5-6章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知二次函数(m为常数)的图象经过点、,则、的大小关系是()
A. B. C. D.与m的值有关
2.如图,沿边向右平移得到,若,则的长为( )
A. B.3 C. D.6
3.若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,则a的值可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知正数,,满足,,,下列说法正确的是( )
A.当时,随的增大而减小 B.当时,随的增大而增大
C.当时,最小值为为 D.
5.如图所示,在洞孔成像问题中,已知玻璃棒AB与它的物像平行,已知玻璃棒厘米,根据图中给定的尺寸,那么它的物像的长是( )厘米
A.5 B.6 C.8 D.4
6.如图,在中,,,,分别以点和点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于两点,作直线,分别交于点,连接,则的长为( )
A.2 B. C.3 D.
7.如图,与是以点为位似中心的位似图形,若,,,则的长为( )
A. B. C.2 D.
8.二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9.如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同,那么该抛物线有最 点(填“高”或“低”).
10.沿着x轴正方向看,抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反,则b的值为 .
11.如图,在中,,点D是线段上的一点,连接,将线段绕着点A顺时针旋转得到线段,且,连接,.若且,则的周长为 .
12.如图,铁道口的栏杆短臂长米,长臂长米,当短臂端点下降米,长臂端点升高 米.
13.已知,是抛物线上任意两点,若对于任意,,都有,则的取值范围为 .
14.如图,正方形的边长为6,点P在边上(P不与A、D重合),连接.将线段绕点P顺时针旋转得到,连接.则面积的最大值为 .
15.如图,在矩形中,、分别在、上运动(不与端点重合),、,交于点,且满足.连接,若,,则的最小值为 .
三、解答题
16.抛物线与x轴交于A和两点,与y轴交于点C,且抛物线还经过点.
(1)求抛物线L的表达式;
(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为,在抛物线上是否存在一点P,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
17.已知抛物线.
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)已知点为抛物线上一点,点的横坐标为,将点向右平移6个单位长度得到点,若点恰好在抛物线上,求出的值.
(3)已知点,点,若抛物线与线段有一个公共点,求的取值范围.
18.如图,四边形为平行四边形,E为延长线上一点,F为中点,连接D,F,在平行四边形的内部求作一点P,使得.(不写作法,保留作图痕迹)
19.综合与实践
【主题】大棚苗木种植方案设计
【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图,其下半部分是一个长为、宽为的矩形,其上半部分的形状是一条抛物线,现测得大棚顶部的最高点距离地面.
【素材】种植苗木时,每棵苗木高,为了保证生长空间,相邻两棵苗木种植点之间间隔,苗木顶部不触碰大棚,且种植后苗木成轴对称分布(苗木的数量为偶数个).
【解决问题】
(1)大棚上半部分的形状是一条抛物线,设大棚的高度为,种植点的横坐标为.根据图建立的平面直角坐标系,通过素材提供的信息确定点的坐标,求出抛物线的解析式(无需写出自变量的取值范围).
(2)探究种植范围.在图的平面直角坐标系中,在不影响苗木生长的情况下,确定种植点的横坐标的取值范围.
(3)拟定种植方案.求出最前排符合所有种植条件的苗木数量,并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标.
20.如图,是的直径,是上的一点,点是弧的中点,过点作 交延长线于点,所在直线交的延长线于点,连接,.
(1)请判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求的半径.
21.在西安万象城,以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型,用建筑和自然结合的方式打造了城市特色建筑景观“生命之树”(如图1).在数学活动课中,小伊利用硬纸板自制了一个大直角板 测量“生命之树”的高度,即的长(如图2).已知,在 中,米,米,E,F是树干上两点,目测点 C到地面的距离米,到树干的水平距离 米,她通过调整位置,使斜边与点E在同一直线上,另一条直角边与“生命之树”左侧最高点A在同一直线上,树冠A 的正投影点G到树干底端F距离即米.求“生命之树”的高度.
22.如图,抛物线交轴于,两点在左边,交轴于点,点是第二象限内抛物线上任意一点,其横坐标为.
(1)直接写出点,,的坐标;
(2)如图1,连接,过点作直线轴,交于点D.当线段的长度最大时,求点的坐标;
(3)如图,连接,,过点作直线,交轴于点.若平分线段,求直线的解析式.
23.【基础巩固】(1)如图1,已知于点,于点B,P是上一点,已知,,,,求的周长;
【尝试应用】(2)如图2,已知,,点D,E分别在边和上,是上一点,且,,求的值;
【拓展提高】(3)如图3,已知,,点D,E分别在直线和直线上,是边上一点,且,,的两条直角边,直接写出此时的长度.
《第5-6章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D D D B C
1.A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.据所给函数解析式,可得出抛物线的对称轴为直线,再根据两点与对称轴的关系即可解决问题.
【详解】解:(m为常数)的对称轴为直线,
点在对称轴的两侧,且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离,
二次函数的图象开口向上,
故选:A.
2.B
【分析】本题考查了平移的性质,根据平行线分线段成比例解答即可.
【详解】解:,
.
沿边向右平移得到,
.
,即.
解得.
故选B.
3.A
【分析】本题主要考查二次函数的性质.由抛物线开口方向可求得a的取值范围,可求得答案.
【详解】解:∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,
∴,
∴,
观察发现只有选项A符合题意,
故选:A.
4.D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数的最值,对称轴,熟练掌握以上知识点并能进行数形结合是解题的关键.从题意可知,,,结合为正数,求得的范围,结合二次函数的图象一一判断即可.
【详解】解:
,
的开口向上,对称轴为
时,随的增大而减小,时,即时,随的增大而增大,故A不符合题意,B不符合题意;
当时,最小值为为,当时,有最大值1,故C不符合题意;
,故D符合题意;
故选:D.
5.D
【分析】本题主要考查了三角形的相似,根据相似三角形的性质计算答案即可;
【详解】解:由题易得:,
∴=相似三角形的对应高之比,
又,
∴,
故选:D
6.D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及相似三角形的判定以及性质,由作图可知垂直平分,可得出,,进一步证明,即可得出,由相似三角形的性质可得出,即可求出,即
【详解】解:由作图可知,垂直平分,
∴,,
∵,
即,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
故选:D.
7.B
【分析】本题考查了相似图形的性质,位似图形与相似图形的关系.根据位似图形的性质,得到,根据相似三角形的性质,即可求解.
【详解】解:∵与是以点为位似中心的位似图形,
∴
∴,
∵,,,
∴,
解得:,
故选:B.
8.C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质、反比例函数与一次函数的图象综合,正确掌握相关性质内容是解题的关键.先根据开口方向以及与轴的交点位置,得,根据对称轴,得,再结合以及运用数形结合思想,进行逐项分析,即可作答.
【详解】解:∵二次函数开口方向向上,与轴交于负半轴,
∴,
∵根据对称轴,
∴,
∴
∴经过第一、二、三象限
结合二次函数的图象,得当时,
即经过第二、四象限,
故选:C
9.高
【分析】本题考查了抛物线的性质,根据抛物线的性质即可求解,掌握抛物线的性质是解题的关键.
【详解】解:∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同,在抛物线中,,
∴抛物线的开口向下,
∴该抛物线有最高点,
故答案为:高.
10.
【分析】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反,可得出对称轴为直线,然后根据对称轴公式求解即可.
【详解】解:∵沿着x轴正方向看,抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴,
解得,
故答案为:.
11.10
【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质,结合旋转的性质判定,则,进一步证明,则,即可求得,那么,的周长为即可.
【详解】解:∵,即,
∴,
由旋转得,
∵,
∴,
∴,
∵, ,
∴,
∴
∵,,
∴,
则的周长为,
故答案为:10.
12.
【分析】本题考查了相似三角形的应用,根据得,据此解答即可求解,掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
【详解】解:如图,∵,,
∴,
∴,
∵米,米,米,
∴,
∴米,
故答案为:.
13.
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,解题的关键在于得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离.
可求抛物线对称轴为直线,,由,得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离,则,那么,即可求解.
【详解】解:抛物线的对称轴为直线:,
∵,,
∴,,
∴,
∵,
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
14.
【分析】本题考查了旋转的性质,二次函数的性质,正方形的性质,三角形全等的判定与性质,过点作交延长线于点G,利用正方形的性质证明,推出,设,则,即可得到的面积为,再利用二次函数的性质即可解答.
【详解】解:过点作交延长线于点G,
由旋转的性质得:,
∵正方形中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,则,
∴的面积为,
∵,
∴当,即时,的面积最大,最大值为,
故答案为:.
15.
【分析】根据矩形的性质得到,证明,推出,可得最短时点的位置,设为中点,连接,与圆交于,再利用即可得出结果.
【详解】解:∵四边形是矩形,
∴,,又,
∴,
∴即
∴,
∴
∴
∴,
∴,又,
∴,
∴,
∴点在以为直径的圆周上,设为中点,连接,与圆交于,
即此时最短,
∴,
∴,
∴此时,
故答案为:.
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及圆的性质,确定出最小时点的位置是解题关键,也是本题的难点.
16.(1)
(2)存在;或或或
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)先根据抛物线L与抛物线为关于原点对称,求出抛物线的表达式,根据,得出,解关于x的方程,得出答案即可.
【详解】(1)解:将点代入,
得,
解得:,
∴抛物线L的表达式为.
(2)解:存在,理由:
在中,令,则,
,
令,则,
解得.
,
由旋转的性质和中心对称得,抛物线的表达式为,
,
∴,
解得或.
则点P的坐标为或或或.
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点,求二次函数解析式,二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键.
17.(1)对称轴为直线
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系,以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题,求一元一次不等式的求解,熟练掌握相关性质为解题关键.
(1)根据函数解析式求出对称轴即可;
(2)根据题意可知与点关于对称轴对称,得到,求出m的值即可;
(3)根据题意得到若与抛物线有一个公共点,则点在抛物线的上方或在抛物线上,得到,求出不等式解集.
【详解】(1)解:由题意,可知抛物线的对称轴为直线.
(2)∵点向右平移6个单位长度得到点,点恰好在抛物线上,
∴点与点关于对称轴对称.
∴点与点距轴的距离相等,且点在对称轴左侧.
∴,解得.
(3)由题意,可知抛物线恒过点.
∴点在抛物线的下方.
若与抛物线有一个公共点,则点在抛物线的上方或在抛物线上.
∴,解得.
18.图见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定,尺规作图—作一个角等于已知角,根据两角对应相等的两个三角形相似,作,,即可.
【详解】解:如图,点P即为所求;
19.(1)
(2)
(3)最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵,最左边一棵苗木种植点的横坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
(1)如图(见解析),先求出点、的坐标,再利用待定系数法求解即可得;
(2)求出当时,的值,再结合函数图象即可得;
(3)根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植,由此即可得.
【详解】(1)解:如图,根据平面直角坐标系以及题意可知,点的坐标为,点的坐标为,
抛物线的顶点坐标为点,
可设抛物线的解析式为.
把点代入可得,
解得:,
抛物线的解析式为;
(2)种植苗木时,每棵苗木高,
当时.
解得:,.
苗木顶部不触碰大棚,且种植后苗木成轴对称分布,
种植点的横坐标的取值范围为.
(3)由题意可知,种植后苗木成轴对称分布,且相邻两棵苗木种植点之间间隔,
在距离轴的两侧开始种植,最前排可种植(棵),
则最左边一棵苗木种植点的横坐标为.
答:最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵,最左边一棵苗木种植点的横坐标为.
20.(1)直线与的相切;理由见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的性质和判定,熟练掌握圆周角定理,以及相似三角形的性质是解题的关键.
(1)连接,根据等弧所对的圆周角相等可得,从而利用角平分线和平行证明,然后利用平行线的性质求出,即可解答;
(2)根据题意证明出,然后利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】(1)直线与的相切;理由如下:
连接,如图所示,
∵D为中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵是的半径,
∴是的切线;
(2)解:∵
∴
∴
设的半径为,
∵,,
∴
解得:(负值舍去)
即的半径为.
21.米
【分析】本题考查相似三角形的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.如图,设交于点.利用相似三角形的性质求出可得结论.
【详解】解:如图,设交于点.
由题意四边形,四边形,四边形是矩形,
(米,(米,
米,
(米,
在中,,
,
,,
,
,
,
(米,
(米.
22.(1),,
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质,利用待定系数法求解一次函数的解析式,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
(1)把代入,即可求解点的坐标,把代入,即可求解点,的坐标;
(2)设直线的解析式为,将代入得,即可求解直线的解析式,根据,坐标,应用二次函数性质即可求解;
(3)根据题意求解直线的解析式,进而求出线段的中点坐标,将代入,即可求解;
【详解】(1)解:在中,令得,
令得,
解得或,
;
(2)解:设直线的解析式为,
将代入得,
解得,
直线的解析式为,
点在第二象限的抛物线上,点在直线上,
,,,
,
当时,最大,
此时点的坐标为;
(3)解:设直线的解析式为,将代入得,
解得,
直线的解析式为,
,
设直线的解析式为,将代入得,
,
,
直线的解析式为,
,
线段的中点坐标为,
平分线段,
线段的中点在直线上,
将代入得,
解得:,,(舍去)
直线的解析式为;
23.(1)12(2)(3)或
【分析】(1)证明,得到,,勾股定理求出,进而求出的周长即可;
(2)分别过点作,证明,设,证明,列式得,算出,即可作答.
(3)分别过点作,同法(2)得到,,证明,得到,分点在线段上和在线段的延长线上,两种情况进行讨论求解即可.
【详解】解:(1)∵,,,
∴,
∴,
∵
∴;
∴,,
∴,
∴的周长为:;
(2)分别过点作,如图,
∵,,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,
∴,
即,
∴,,
设,
∵,
∴
∴
在和中
∴
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)①当点在线段上时,分别过点作,如图
同(2)可得:,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
∴;
②当点在线段的延长线上时:如图,
同理:,,,
∴,
设,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
∴;
综上:或.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,勾股定理、等腰三角形的性质等综合知识内容,难度较大,综合性较强,熟练掌握相关知识点和一线三直角的全等和相似模型,是解题的关键.
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