苏科版九年级下册数学第5-6章阶段测试卷（含解析）

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第5-6章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数（m为常数）的图象经过点、，则、的大小关系是（）
A． B． C． D．与m的值有关
2．如图，沿边向右平移得到，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知正数，，满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大
C．当时，最小值为为 D．
5．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（ ）厘米
A．5 B．6 C．8 D．4
6．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，分别交于点，连接，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
8．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）．
10．沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为 ．
11．如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为 ．
12．如图，铁道口的栏杆短臂长米，长臂长米，当短臂端点下降米，长臂端点升高 米．
13．已知，是抛物线上任意两点，若对于任意，，都有，则的取值范围为 ．
14．如图，正方形的边长为6，点P在边上（P不与A、D重合），连接．将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．则面积的最大值为 ．
15．如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
16．抛物线与x轴交于A和两点，与y轴交于点C，且抛物线还经过点．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为，在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)已知点为抛物线上一点，点的横坐标为，将点向右平移6个单位长度得到点，若点恰好在抛物线上，求出的值．
(3)已知点，点，若抛物线与线段有一个公共点，求的取值范围．
18．如图，四边形为平行四边形，E为延长线上一点，F为中点，连接D，F，在平行四边形的内部求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
19．综合与实践
【主题】大棚苗木种植方案设计
【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面．
【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）．
【解决问题】
(1)大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）．
(2)探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
(3)拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
20．如图，是的直径，是上的一点，点是弧的中点，过点作 交延长线于点，所在直线交的延长线于点，连接，．
(1)请判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．
21．在西安万象城，以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造了城市特色建筑景观“生命之树”(如图1)．在数学活动课中，小伊利用硬纸板自制了一个大直角板 测量“生命之树”的高度，即的长(如图2)．已知，在 中，米，米，E，F是树干上两点，目测点 C到地面的距离米，到树干的水平距离 米，她通过调整位置，使斜边与点E在同一直线上，另一条直角边与“生命之树”左侧最高点A在同一直线上，树冠A 的正投影点G到树干底端F距离即米．求“生命之树”的高度．
22．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
23．【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点B，P是上一点，已知，，，，求的周长；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点D，E分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边，直接写出此时的长度．
《第5-6章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D D D B C
1．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据两点与对称轴的关系即可解决问题．
【详解】解：（m为常数）的对称轴为直线，
点在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
二次函数的图象开口向上，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了平移的性质，根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：，
．
沿边向右平移得到，
．
，即．
解得．
故选B．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，
∴，
∴，
观察发现只有选项A符合题意，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，对称轴，熟练掌握以上知识点并能进行数形结合是解题的关键．从题意可知，，，结合为正数，求得的范围，结合二次函数的图象一一判断即可．
【详解】解：
，
的开口向上，对称轴为
时，随的增大而减小，时，即时，随的增大而增大，故A不符合题意，B不符合题意；
当时，最小值为为，当时，有最大值1，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可；
【详解】解：由题易得：,
∴=相似三角形的对应高之比，
又，
∴，
故选：D
6．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及相似三角形的判定以及性质，由作图可知垂直平分，可得出，，进一步证明，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系．根据位似图形的性质，得到，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质、反比例函数与一次函数的图象综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据开口方向以及与轴的交点位置，得，根据对称轴，得，再结合以及运用数形结合思想，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵二次函数开口方向向上，与轴交于负半轴，
∴，
∵根据对称轴，
∴，
∴
∴经过第一、二、三象限
结合二次函数的图象，得当时，
即经过第二、四象限，
故选：C
9．高
【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，，
∴抛物线的开口向下，
∴该抛物线有最高点，
故答案为：高．
10．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，可得出对称轴为直线，然后根据对称轴公式求解即可．
【详解】解：∵沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
故答案为：．
11．10
【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，结合旋转的性质判定，则，进一步证明，则，即可求得，那么，的周长为即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴
∵，，
∴，
则的周长为，
故答案为：10．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离．
可求抛物线对称轴为直线，，由，得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，则，那么，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过点作交延长线于点G，利用正方形的性质证明，推出，设，则，即可得到的面积为，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：过点作交延长线于点G，
由旋转的性质得：，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴的面积为，
∵，
∴当，即时，的面积最大，最大值为，
故答案为：．
15．
【分析】根据矩形的性质得到，证明，推出，可得最短时点的位置，设为中点，连接，与圆交于，再利用即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，又，
∴，
∴即
∴，
∴
∴
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆周上，设为中点，连接，与圆交于，
即此时最短，
∴，
∴，
∴此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
16．(1)
(2)存在；或或或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先根据抛物线L与抛物线为关于原点对称，求出抛物线的表达式，根据，得出，解关于x的方程，得出答案即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得：，
∴抛物线L的表达式为．
（2）解：存在，理由：
在中，令，则，
，
令，则，
解得．
，
由旋转的性质和中心对称得，抛物线的表达式为，
，
∴，
解得或．
则点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
17．(1)对称轴为直线
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，求一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质为解题关键．
（1）根据函数解析式求出对称轴即可；
（2）根据题意可知与点关于对称轴对称，得到，求出m的值即可；
（3）根据题意得到若与抛物线有一个公共点，则点在抛物线的上方或在抛物线上，得到，求出不等式解集．
【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的对称轴为直线．
（2）∵点向右平移6个单位长度得到点，点恰好在抛物线上，
∴点与点关于对称轴对称．
∴点与点距轴的距离相等，且点在对称轴左侧．
∴，解得．
（3）由题意，可知抛物线恒过点．
∴点在抛物线的下方．
若与抛物线有一个公共点，则点在抛物线的上方或在抛物线上．
∴，解得．
18．图见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图—作一个角等于已知角，根据两角对应相等的两个三角形相似，作，，即可．
【详解】解：如图，点P即为所求；
19．(1)
(2)
(3)最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）如图（见解析），先求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得；
（3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，根据平面直角坐标系以及题意可知，点的坐标为，点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为点，
可设抛物线的解析式为．
把点代入可得，
解得:，
抛物线的解析式为；
（2）种植苗木时，每棵苗木高，
当时．
解得：，．
苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
种植点的横坐标的取值范围为．
（3）由题意可知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵），
则最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
20．(1)直线与的相切；理由见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，从而利用角平分线和平行证明，然后利用平行线的性质求出，即可解答；
（2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）直线与的相切；理由如下：
连接，如图所示，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵
∴
∴
设的半径为，
∵，，
∴
解得：（负值舍去）
即的半径为．
21．米
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，设交于点．利用相似三角形的性质求出可得结论．
【详解】解：如图，设交于点．
由题意四边形，四边形，四边形是矩形，
（米，（米，
米，
（米，
在中，，
，
，，
，
，
，
（米，
（米．
22．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把代入，即可求解点的坐标，把代入，即可求解点，的坐标；
（2）设直线的解析式为，将代入得，即可求解直线的解析式，根据，坐标，应用二次函数性质即可求解；
（3）根据题意求解直线的解析式，进而求出线段的中点坐标，将代入，即可求解；
【详解】（1）解：在中，令得，
令得，
解得或，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为；
23．（1）12（2）（3）或
【分析】（1）证明，得到，，勾股定理求出，进而求出的周长即可；
（2）分别过点作，证明，设，证明，列式得，算出，即可作答．
（3）分别过点作，同法（2）得到，，证明，得到，分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∵
∴；
∴，，
∴，
∴的周长为：；
（2）分别过点作，如图，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
设，
∵，
∴
∴
在和中
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在线段上时，分别过点作，如图
同（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时：如图，
同理：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形的性质等综合知识内容，难度较大，综合性较强，熟练掌握相关知识点和一线三直角的全等和相似模型，是解题的关键．
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