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6.2.3平面向量的数乘运算--自检定时练---详解版
单选题
1．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：A.
2.在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，
又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.
故选：B
3．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、、的方程组，消去即可得出结果.
【详解】、、三点共线，
设，即，
由于、不共线，则，消去可得.
因此，、、三点共线的充要条件为.
故选：D.
4.已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件中D为BC中点得出的向量关系，结合另一个条件，通过向量的运算和变形来判断各选项的正确性.
【详解】连接，因为为边的中点，所以，
又因为，所以，
所以，所以，故A、B、C错误；
由，可得，所以，故C正确．
故选：C．
5.已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可.
【详解】指向角A的平分线方向，
而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向，
所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，
所以点P的轨迹会经过内心.
故选：B.
6.已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】取BC中点为D，延长AD至E，由向量知识及图形可得M 为AD中点，然后可得答案.
【详解】取BC中点为D，延长AD至E，使AD=DE，则，
则M 为AD中点，过M，A做BC垂线，垂足为F，G，则.
则.
故选：B
多选题
7.正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断.
【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且．
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，
若，则，不合题意，D错误．
故选：AC
8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心 重心 垂心，且为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断.
【详解】
对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知:
所以，根据平行线分线段成比例可知：，
又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确；
对于B，由于是重心，所以，
而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确；
对于C，因为是外心，所以，故C正确；
对于D，由向量的加法可知：，故D错误；
故选：ABC
填空题
9.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
【答案】3
【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.
【详解】已知，根据向量的减法法则，
则.因为，又，所以，移项可得.
由于，那么，所以.
故答案为：.
10.已知所在平面内一点满足，则 ．
【答案】5
【分析】取的中点，则，进而可得.
【详解】如图，取的中点，则，
故，故、、三点共线，
故，
故答案为：5
解答题
11.化简下列向量运算；
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
12.如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．
(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
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6.2.3平面向量的数乘运算--自检定时练---学生版
【1】知识清单
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb
四个个常用结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(2)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心．
(3)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(4)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
6.已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
多选题
7.正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ）
A． B．
C． D．
8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心 重心 垂心，且为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
填空题
9.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
10.已知所在平面内一点满足，则 ．
解答题
11.化简下列向量运算；
(1)；
(2)；
(3)．
12.如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．
(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B B AC ABC
9.【答案】3
10.【答案】5
11.【答案】(1) (2) (3)
12.【答案】(1) (2)
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