第七章锐角三角函数同步练习（含解析）

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第七章锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（ ）
A． B． C．5m D．
2．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车上升的高度为（ ）

A．25米 B．米 C．米 D．50米
3．如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（ ）
A．按键的结果为0.064
B． 按键的结果为0.5
C． 按键的结果为
D． 按键的结果为0.3
4．如图，在坡度为的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离为6米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离为（ ）

A．3米 B．米 C．米 D．6米
5．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.5米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（　　）
A．15 B． C．6 D．
9．已知＞，那么锐角a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
12．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（ ）（结果精确到0.1km；参考数据：）
A．4.1km B．5.2km C．5.9km D．7.9km
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A（-4，0），与轴夹角为，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为 ．
14．锐角中，，则的形状是 .
15． ．
16．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 ．（计算结果保留根号）
17．如图，在中，D为BC上一点，连接，将沿着翻折得到，E点恰好在边上且，若，，则线段 ；
三、解答题
18．如图，在中，
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值．
19．根据下列条件解直角三角形．
(1)在中，，，；
(2)在中，，，．
20．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
21．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求的度数；
(2)已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
22．如图是小明绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点均在同一平面内，小明在家测量时的位置在点处，点到地面的距离m，想要测量高度的楼房是，小明在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，图中，，点在上，点到的距离m，请根据以上小明测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到1m，参考数据：）
23．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示．
(1)将边BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD；
(2)在线段CD上找一点M，使得AMBC；
(3)在AC上找一点P，使DP＋MP最小；
(4)依据（1）（2）（3）的作图，试探究：若α、β是锐角，且tanα＝1，tanβ＝，则tan（α＋β）＝ ．
24．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
《第七章锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B C B A D A B
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得，解即可求解，求得是解题的关键．
【详解】解：∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】利用坡度为可求出，即可得到米，得到答案．
【详解】解：如图，，米，

∵，
∴，
∴（米），
即此时该小车上升的高度为25米．
故选：A
【点睛】此题考查了坡度坡比问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．
根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可．
【详解】
解：A、按键的结果为，正确，故此选项不符合题意；
B、 按键的结果为，正确，故此选项不符合题意；
C、 按键的结果为，原计算结果错误，故此选项符合题意；
D、 按键的结果为，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】由坡度为，可得，又由，即可求得，再利用勾股定理求得坡面距离的长．
【详解】∵坡度为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了坡度、坡角的知识．注意掌握坡度的定义是解此题的关键．
5．C
【分析】过A作BC的垂线，垂足为E，先利用矩形性质得AE及CE的长，再利用三角函数的定义求出BE的长度，利用BC=BE+CE即可得答案．
【详解】解：过A作BC的垂线，垂足为E，如图所示，
则四边形ADCE为矩形，
∴AD=CE=1.5米，CD=AE=200米，
在Rt△ABE中，tanα=，
∴BE=200·tanα，
∴BC=BE+CE=（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
6．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，先由矩形的性质和已知条件证明，然后解直角三角形推出，据此可求出的度数，最后求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】根据三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴cosa=，∴AC=4cosa米，
故选： A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦三角函数的概念是解题关键．
8．D
【分析】作BC边上的高AD，由sinB =，即可求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作BC边上的高AD，
∵sinB =，即，
∴，
∴AD=3，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形．正确画出图形，根据正弦值求出底边BC上的高是解题关键．
9．A
【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵＝，＞，正弦值随着角度的增大而增大，
∴
∵α为锐角，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是关键．
10．B
【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可．
【详解】解：由，得，故①正确；
∵，，∴，∴，故②错误；
当时，，故③错误；
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键．
11．A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
【详解】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，解题关键是正确地计算出各式的值．
12．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形；
作于D，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：作于D，
小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，
∴，，
∴，，
，
，
故选：D
13．
【分析】设点的坐标为，过点作轴，作轴，根据折叠的性质可得，，，用锐角三角函数的定义求出，的长，则求出点的坐标，即可得出的值．
【详解】解：设点的坐标为，如图，过点作轴，作轴，
将沿直线翻折，
，，，
∴∠CAD=60°， ∠ACD=30°，
，
，
，
，
，
点在第二象限，
，
点恰好落在双曲线上，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数的知识，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点的坐标是解答本题的关键．
14．等边三角形
【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键．
15．-1
【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简等计算法则求解即可．
【详解】解：
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．（800400）m
【分析】如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长，作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，求得P1N，从而求得P1P2．
【详解】解：作P1M⊥AC于M，
设P1M＝xm，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝xm，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MCP1Mxm，
∵AC＝1000 m，
∴x1000，解得x＝500（1）（m），
∴P1M＝500（1）m，
∴P1A500（）m，
作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，
在Rt△ABN中，
∵∠P1AB＝45°，AB＝600 m
∴BN＝ANAB＝300（m），
∴P1N＝500（）﹣300（500800） （m），
在Rt△P2BN中，
∵∠P2＝60°，
∴P2NBN300100 （m），
∴P1P2＝100（500800）＝（800400） （m）．
故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是（800400）m，
故答案为：（800400）m．
【点睛】本题考查解直角三角形解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形解决问题．
17．
【分析】过作交的延长线于，得到，设，，根据折叠的性质得到，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
设，，
将沿着翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．(1)见详解
(2)边上的高为，
【分析】（1）作得垂直平分线与得延长线交于点D，连接即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，设，根据勾股定理及线段的和差得出，，，建立方程求解即可得出，运用等面积法求出边上的高，然后根据正弦的概念即可得出答案．
本题考查了作垂直平分线、等腰三角形的性质、勾股定理以及求一个角的正弦值，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键．
【详解】（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示：
；
（2）解：∵是以为底的等腰三角形，
，
设，
，
，，，
，
解得
即，
即，
则边上的高，
则边上的高，
，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键；
（1）先求解，再求解，，从而可得答案；
（2）先求解，再求解，即可；
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，，
∴．
（2）∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)的余弦为
【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
（2）解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．(1)
(2)海监船继续向正东方向航行安全，理由见解析．
【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；
【详解】（1）解：由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°，
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=40（海里）
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△PBD中， PD=BPsin60°=（海里），
，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
22．
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，含角的直角三角形，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键．过点作于点，可得四边形是矩形，在中，，可得（负值舍去），，在中，运用仰俯角解直角三角形可得的值，由即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴楼房的高度为．
23．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析，2
【分析】（1）根据旋转的性质即可将边BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD；
（2）根据网格即可在线段CD上找一点M，使得AM//BC；
（3）找到点D关于AC的对称点，连接交AC于点P，根据两点之间线段最短即可使DP+MP最小；
（4）依据（1）（2）（3）的作图，根据，可得∠BAC=a=45°，∠CAM=，利用三角形外角定义可得，进而可得．
【详解】（1）如图，线段CD即为所求，
（2）如图所示，点M即为所求，
（3）如图所示，点P即为所求，
（4）
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∵，
,
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了作图一旋转变换，平行线的性质，作图一轴对称变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24．(1)
(2)
【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）过点E作于点H．求出，，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于点H．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
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