8.5 概率帮你做估计 同步练习（含解析）

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8.5概率帮你做估计
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
2．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
3．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
4．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
“钉尖向上”的频率
A． B． C． D．
5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6
6．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ）
A．45 B．48 C．50 D．55
8．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）
A．12个 B．16个 C．20个 D．25个
9．某淘宝商家为“双大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“元优惠券”的概率为（精确到）（ ）
转动转盘的次数
落在“元优惠券”区域的次数
落在“元优惠券”区域的频率
A． B． C． D．
10．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A． B． C． D．
11．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，在不透明的口袋中放有6个除颜色外均相同的小球，其中有3个红球，2个白球和1个黑球．用折线统计图统计了某一结果出现的频率，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．从中随机摸出1个球是红球 B．从中随机摸出1个球是白球
C．从中随机摸出1个球是黑球 D．从中随机摸出1个球是黄球
12．一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球， 这些球除颜外都相同． 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回． 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则白球的个数的值可能是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空题
13．如图所示的是某射击选手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，则该射击选手击中靶心的概率的估计值为 （结果精确到）．
14．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为 ．
15．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有 ．
16．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）．
17．某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共50个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在20%，则袋中红色球是 个.
三、解答题
18．在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2000次重复摸球实验后，共摸出黑球1202次．
(1)估计袋中有黑球________个；
(2)小明从袋中取出n个黑球后，小明从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黑球的概率为，求n的值．
19．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到黑球的频数 64 123 a 367 486 600
摸到黑球的频率 0.427 0.410 0.415 0.408 0.405 b
(1)表中的a＝____；b＝____；
(2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是___；（精确到0.1）
(3)袋中白球个数的估计值为____．
20．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是__________（精确到0.01），由此估出红球有__________个．
(2)现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．
21．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
22．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球和白球的数量．
23．有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 b
(1)_______，_______；
(2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图；
(3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？
24．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？
(3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率．
《8.5概率帮你做估计》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B A D A B C C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为xcm2
由已知得：长方形面积为20cm2 ，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得：x=7．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
2．A
【详解】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，
∴有30次摸到白球．
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3．
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3．
∴4×3=12（个）．
故选A．
3．D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．
4．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．
故选：B．
5．A
【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．关键是算出摸到白球的频率．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在，
∴口袋中白色球的个数可能是个，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，进行求解即可．
【详解】解：∵随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为；
故选D．
7．A
【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．
【详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5=45（个），
故选A．
8．B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，
解得：x=16，
经检验，x=16是分式方程的解，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率及解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系
9．C
【分析】本题考查多次随机事件的概率等于频率，根据表格直接求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
得到“元优惠券”的概率为，
精确到为：，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子，
∴射中靶子的频率为，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为，
故选C
11．C
【分析】先由折线统计图得出随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.17，即附近，再分别求出每个选项中随机事件的概率，从而得出答案．
【详解】解：由折线统计图知，此试验最终的频率接近于0.17，即约为，
A、从中随机摸出1个球是红球的概率为，故此选项不符合题意；
B、从中随机摸出1个球是白球的概率为，故此选项不符合题意；
C、从中随机摸出1个球是黑球的概率为，故此选项符合题意；
D、从中随机摸出1个球是黄球的概率为=0，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，难度不大．
12．B
【分析】由大量重复实验，摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率，根据概率公式列式计算即可求得n的数值．
【详解】解:∵大量重复实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查频率估计概率，准确计算是解题的关键．
13．
【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
【详解】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在附近，
∵精确到，
∴估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为．
故答案为：．
14．5
【分析】根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可．
【详解】根据题意列式：，
解得，则布袋中白球的个数为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．
15．
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可．
【详解】解：设袋子中白球有个，
根据题意，得：
，
解得：，
则，
即布袋中白球可能有个，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
17．10
【分析】根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数=总数×频率计算即可．
【详解】解：∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%，
∴口袋中红色球的个数可能是50×20%=10个．
故答案为：10．
18．(1)6
(2)
【分析】（1）先估算出概率，再乘以总量即可；
（2）表示出剩余黑球的数量除以总数量列式计算即可．
【详解】（1），
（个），
∴估计袋中有黑球6个；
故答案为：6．
（2）取出n个黑球后，还剩下个黑球，总共剩余个球，
由题意得，解得．
【点睛】本题主要考查了由频率估计概率，已知概率求参数，准确计算是解题的关键．
19．(1)249、0.4/
(2)0.4/
(3)18
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
【详解】（1）解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4，
故答案为：249，0.4；
（2）解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
（3）解：设白球有x个，
根据题意得：，
解得x=18，
经检验：x=18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
20．(1)0.33，2；
(2)所有可能得结果见解析，恰好摸到2个红球的概率为；
【分析】（1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可；
（2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可；
【详解】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，
设红球有个，则，解得，
故答案为0.33，2；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种，
所以从该袋中摸2次球，恰好摸到2个红球的概率为．
【点睛】本题考查了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
21．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
（3）摸到红球的概率为；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【详解】（1），；
故答案为：，；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为： ；
（3）摸到红球的概率是；
故答案为： ；
（4）设红球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
22．大约有7个红球、3个白球．
【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量．
【详解】解：由题意可得，
红球的概率为，
则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）．
则白球的个数为3个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
23．(1)18；
(2)见解析
(3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在0.55附近浮动
【分析】本题考查了利用频率估计概率、画频率分布折线图、频率与频数，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键；
（1）根据图中信息，用频率，即可解答；
（2）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题．
（3）根据图中信息，用频率估计概率即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：18，；
（2）画出频率分布折线图，如下图：
（3）解：根据表中数据，试验频率为，，，，，，，，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右，
所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在附近浮动.
24．(1)“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率分别为
(2)小亮的说法不正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16；
“6点朝上”的频率为13÷100=0.13；
（2）小亮的判断依据是：（次），依据是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小亮的判断是错误的．
（3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况，
∴P（朝上的点数大于或等于4）=．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
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