湖南省长沙市第十五中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题
1．（2025九下·长沙开学考）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意；
B、是分数，是有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、 0.13133是有限小数，是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有π，开不尽方的数，0.101001000100001...等数
2．（2025九下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、（-a）2=a2，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断.
3．（2025九下·长沙开学考）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：69610=6.961×104，
故答案为：C.
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2025九下·长沙开学考）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．
故答案为：C．
【分析】根据从上边看到的几何图形解答即可．
5．（2025九下·长沙开学考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 （2，3） （，2，5）
3 （3，2） （3，5）
5 （5，2） （5，3）
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，
∴和是偶数的概率为.
故答案为：B.
【分析】先列表得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式即可求解.
6．（2025九下·长沙开学考）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
7．（2025九下·长沙开学考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
8．（2025九下·长沙开学考）学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，8
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：投中次数的人数最多，故众数是，
将个数据从小到大排序为：，，，，，
故中位数为，
故答案为：C．
【分析】根据众数、中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
9．（2025九下·长沙开学考） 已知点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，k=2>0，
∴图象分布在一、三象限.
∵ 点 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴点M在第三象限，点N在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象所在象限的点的坐标特征，即可判断y1和y2的大小.
10．（2025九下·长沙开学考）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解∶过D作于E，如图所示，
由题意得，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，△BCD为等腰三角形，
又∵，
∴，，
在Rt△BDE中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，推出，再根据等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用等腰三角形三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
11．（2025九下·长沙开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平方差公式分解因式解题．
12．（2025九下·长沙开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-4≠0，
解得x≠4.
故答案为：x≠4.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
13．（2025九下·长沙开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．（2025九下·长沙开学考） 若，则 ．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．（2025九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
16．（2025九下·长沙开学考）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【知识点】菱形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据菱形的性质、三角形中线求出，，根据和菱形的面积求出求出的面积，再根据解答．
17．（2025九下·长沙开学考）计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，运算零指数幂，绝对值、负整数指数幂，然后合并解题即可.
18．（2025九下·长沙开学考）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：
=
=
=，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运算括号内的分式减法，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，代入数值计算解题．
19．（2025九下·长沙开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店购买甲种品牌奖品25件，乙种品牌奖品10件共用500元，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
【答案】（1）解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：
解得：，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元
（2）解：设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设甲种品牌奖品的销售单价是元，根据“ 购买甲种品牌奖品25件，乙种品牌奖品10件共用500元 ”列一元一次方程解题即可；
设购买甲种品牌奖品件，根据“ 购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元 ”列不等式解题即可．
（1）解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：
解得：，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元；
（2）解：设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是件．
20．（2025九下·长沙开学考）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可求出答案.
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可求出答案.
（3）画出树状图，找出所有等可能的结果，再求出恰好抽到2名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2025九下·长沙开学考）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】解：设平移后得到，延长交于点，则：，
，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设平移后得到，延长交于点，设，分别在中利用正切的定义表示出的长，列方程求出x值即可解题．
22．（2025九下·长沙开学考）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
（1）求证：平分；
（2）如果，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，然后得到，根据两直线平行，内错角相等得到，结合等边对等角得到，即可得到结论；
（2）设的半径为r，在中利用勾股定理解题即可．
（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
23．（2025九下·长沙开学考）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）设，根据，可以得到，求出n的值，把点(m，n)代入解析式求出求出值，得到点P 的坐标即可．
（1）解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
1 / 1湖南省长沙市第十五中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题
1．（2025九下·长沙开学考）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
2．（2025九下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·长沙开学考）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·长沙开学考）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·长沙开学考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·长沙开学考）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·长沙开学考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·长沙开学考）学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，8
9．（2025九下·长沙开学考） 已知点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则有（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·长沙开学考）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·长沙开学考）因式分解： ．
12．（2025九下·长沙开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（2025九下·长沙开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．（2025九下·长沙开学考） 若，则 ．
15．（2025九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
16．（2025九下·长沙开学考）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（2025九下·长沙开学考）计算：．
18．（2025九下·长沙开学考）先化简，再求值： ，其中
19．（2025九下·长沙开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店购买甲种品牌奖品25件，乙种品牌奖品10件共用500元，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
20．（2025九下·长沙开学考）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
21．（2025九下·长沙开学考）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
22．（2025九下·长沙开学考）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
（1）求证：平分；
（2）如果，，求的半径．
23．（2025九下·长沙开学考）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，符合题意；
B、是分数，是有理数，不符合题意；
C、是整数，是有理数，不符合题意；
D、 0.13133是有限小数，是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有π，开不尽方的数，0.101001000100001...等数
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、（-a）2=a2，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：69610=6.961×104，
故答案为：C.
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．
故答案为：C．
【分析】根据从上边看到的几何图形解答即可．
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 （2，3） （，2，5）
3 （3，2） （3，5）
5 （5，2） （5，3）
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，
∴和是偶数的概率为.
故答案为：B.
【分析】先列表得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式即可求解.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
8．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：投中次数的人数最多，故众数是，
将个数据从小到大排序为：，，，，，
故中位数为，
故答案为：C．
【分析】根据众数、中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，k=2>0，
∴图象分布在一、三象限.
∵ 点 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴点M在第三象限，点N在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象所在象限的点的坐标特征，即可判断y1和y2的大小.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解∶过D作于E，如图所示，
由题意得，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，△BCD为等腰三角形，
又∵，
∴，，
在Rt△BDE中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，推出，再根据等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用等腰三角形三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平方差公式分解因式解题．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-4≠0，
解得x≠4.
故答案为：x≠4.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
16．【答案】10
【知识点】菱形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据菱形的性质、三角形中线求出，，根据和菱形的面积求出求出的面积，再根据解答．
17．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，运算零指数幂，绝对值、负整数指数幂，然后合并解题即可.
18．【答案】解：
=
=
=，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运算括号内的分式减法，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，代入数值计算解题．
19．【答案】（1）解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：
解得：，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元
（2）解：设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】设甲种品牌奖品的销售单价是元，根据“ 购买甲种品牌奖品25件，乙种品牌奖品10件共用500元 ”列一元一次方程解题即可；
设购买甲种品牌奖品件，根据“ 购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元 ”列不等式解题即可．
（1）解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：
解得：，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元；
（2）解：设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是件．
20．【答案】（1）80，16，
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可求出答案.
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可求出答案.
（3）画出树状图，找出所有等可能的结果，再求出恰好抽到2名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】解：设平移后得到，延长交于点，则：，
，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设平移后得到，延长交于点，设，分别在中利用正切的定义表示出的长，列方程求出x值即可解题．
22．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，然后得到，根据两直线平行，内错角相等得到，结合等边对等角得到，即可得到结论；
（2）设的半径为r，在中利用勾股定理解题即可．
（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
23．【答案】（1）解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）设，根据，可以得到，求出n的值，把点(m，n)代入解析式求出求出值，得到点P 的坐标即可．
（1）解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
1 / 1
