阶段检测卷（1.2直角三角形～1.3线段的垂直平分线）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为 （ ）
第1题图
A.15° B.30° C.50° D.60°
2.如图，线段PC垂直平分线段AB，若∠A＝30°，则∠APB的度数为（ ）
第2题图
A.130° B.120° C.110° D.100°
3.有一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A.5 B.5或 C. D.
4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）
A.两个锐角对应相等
B.一个锐角和斜边对应相等
C.两条直角边分别对应相等
D.一条直角边和斜边对应相等
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D.若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为（ ）
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm
6.三名同学在玩抢凳子的游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜.为使游戏公平，凳子应放在三角形的（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，CD＝2，AD＝4，∠A＝90°，则∠ADC的度数为（ ）
第7题图
A.120° B.105° C.135° D.125°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD的最小值为（ ）
第8题图
A. B.3 C.4 D.5
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 .
10.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若BC＝8 cm，则△AEF的周长为 cm.
第10题图
11.在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的度数为 .
12.如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E为边DC上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在边BC上的点F处，则CE的长是 .
第12题图
13.如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论正确的有 （填序号）.
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°.
三、解答题（共35分）
14.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5.
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，H；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长.
15.（12分）我们知道：等腰三角形两腰上的高相等.
（1）请你写出它的逆命题： .
（2）逆命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例.
16.（13分）将一块等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线 m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D.
（1）求证：EC＝DB；
（2）若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.阶段检测卷（1.2直角三角形～1.3线段的垂直平分线）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为 （ D ）
第1题图
A.15° B.30° C.50° D.60°
2.如图，线段PC垂直平分线段AB，若∠A＝30°，则∠APB的度数为（ B ）
第2题图
A.130° B.120° C.110° D.100°
3.有一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ B ）
A.5 B.5或 C. D.
4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ A ）
A.两个锐角对应相等
B.一个锐角和斜边对应相等
C.两条直角边分别对应相等
D.一条直角边和斜边对应相等
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D.若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为（ C ）
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm
6.三名同学在玩抢凳子的游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜.为使游戏公平，凳子应放在三角形的（ D ）
A.三条角平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，CD＝2，AD＝4，∠A＝90°，则∠ADC的度数为（ C ）
第7题图
A.120° B.105° C.135° D.125°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD的最小值为（ D ）
第8题图
A. B.3 C.4 D.5
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 对应角相等的两个三角形是全等三角形 .
10.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若BC＝8 cm，则△AEF的周长为 8 cm.
第10题图
11.在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的度数为 70°或90° .
12.如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E为边DC上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在边BC上的点F处，则CE的长是 3 .
第12题图
13.如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论正确的有 ①②③ （填序号）.
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°.
三、解答题（共35分）
14.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5.
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，H；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如图，直线DH即为所求.
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长.
（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB.
∵∠B＋∠A＝90°，∠DCB＋∠DCA＝∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠DCA，∴DC＝ DA，
∴△BCD的周长为DC＋DB＋BC＝DA＋DB＋BC＝AB＋BC＝8＋5＝13.
15.（12分）我们知道：等腰三角形两腰上的高相等.
（1）请你写出它的逆命题： 两边上的高相等的三角形是等腰三角形 .
（2）逆命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例.
解：（2）逆命题是真命题.
已知：如图，在△ABC中，CD，BE分别是边AB和AC上的高，CD＝BE.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°.
在Rt△BCD和Rt△CBE中，CD＝BE，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形.
16.（13分）将一块等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线 m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D.
（1）求证：EC＝DB；
证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCD＝90°.
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD.
在△AEC和△CDB中，∠CEA＝∠BDC，∠CAE＝∠BCD，AC＝CB，∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴EC＝DB.
（2）若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.
（2）由（1），知BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
∴S梯形AEDB＝（a＋b）（a＋b）＝a2＋ab＋b2.
又∵S梯形AEDB＝S△AEC＋S△BCD＋S△ABC＝ ab＋ab＋c2＝ab＋c2，∴ a2＋ab＋b2＝ab＋c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
