公理与定理
1．通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理．
2．经过证明的真命题叫做定理．
基本事实与定理的联系：都是真命题．区别：基本事实不需证明，定理必须证明．
证明一个命题的主要步骤
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出．其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步地推理，最后证实结论(求证)的过程．
常用的基本事实
1．两点确定一条直线．
2．两点之间线段最短．
3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
6．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
7．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
8．三边分别相等的两个三角形全等．
区分基本事实与定理
典例1 下列命题中，哪些是基本事实？哪些是定理？
(1)同角的补角相等；(2)对顶角相等；
(3)两点之间线段最短；
(4)同位角相等，两直线平行．
基本事实是不需要证明的真命题，而定理是经过证明以后的真命题．根据它们的定义和常用公理区分即可．
解：(3)(4)是基本事实，(1)(2)是定理．
变式 下列说法正确的是①③．(填序号)
①任何基本事实和定理都是真命题
②基本事实和定理都需要验证以后才可使用
③三边分别相等的两个三角形全等属于基本事实
命题的证明
典例2 求证：一组邻补角的角平分线互相垂直．
首先要根据命题，正确地作出图形，然后再根据命题和图形写出已知、求证和证明过程．
解：已知：如图所示，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
典例2图
证明：∵OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC(已知)，
∴∠1＝∠AOB，
∠2＝∠BOC(角平分线的定义)．
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°(已知)，
∴∠EOF＝∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°(等式的性质)．
∴OE⊥OF(垂直的定义)．
变式 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人的创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程．
命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
变式图
已知： ．
求证： ．
证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC.
在△DBC与△ACB中，
∴△DBC≌△ACB( )，
∴∠BDC＝∠CAB( )．
又∵∠BDC＞∠CAB.
与∠BDC＝∠CAB相矛盾，
∴假设不成立，即AB＝AC.
解：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB.
求证：AB＝AC.
证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，连接DC.
变式图
在△DBC与△ACB中，
∴△DBC≌△ACB(SAS)，
∴∠BDC＝∠CAB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠BDC＞∠CAB，
与∠BDC＝∠CAB矛盾，
∴假设不成立，即AB＝AC.
故答案为：如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB；AB＝AC；BD＝CA；∠B＝∠ACB；BC＝CB；SAS；全等三角形的对应角相等．
1．如图，过点A画直线l的平行线，能画( C )
第1题图
A．两条以上 B．2条
C．1条 D．0条
2．[2022·十堰]如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是( B )
第2题图
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
3．如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交，小明觉得直线c也一定和b相交．小明的判断正确吗？请说明理由．
第3题图
解：小明的判断正确，
理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．公理与定理
1． 叫做公理．
2． 叫做定理．
基本事实与定理的联系：都是真命题．区别：基本事实不需证明，定理必须证明．
证明一个命题的主要步骤
证明一个命题的正确性，要按“ ”“ ”“ ”的顺序和格式写出．其中“ ”是命题的条件，“ ”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步地推理，最后证实结论(求证)的过程．
常用的基本事实
1．两点确定一条直线．
2．两点之间线段最短．
3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 ．
5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
6． 的两个三角形全等．
7． 的两个三角形全等．
8． 的两个三角形全等．
区分基本事实与定理
典例1 下列命题中，哪些是基本事实？哪些是定理？
(1)同角的补角相等；(2)对顶角相等；
(3)两点之间线段最短；
(4)同位角相等，两直线平行．
变式 下列说法正确的是 ．(填序号)
①任何基本事实和定理都是真命题
②基本事实和定理都需要验证以后才可使用
③三边分别相等的两个三角形全等属于基本事实
命题的证明
典例2 求证：一组邻补角的角平分线互相垂直．
首先要根据命题，正确地作出图形，然后再根据命题和图形写出已知、求证和证明过程．
变式 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人的创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程．
命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
变式图
已知： ．
求证： ．
若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC.
在△DBC与△ACB中，
∴△DBC≌△ACB( )，
∴∠BDC＝∠CAB( )．
又∵∠BDC＞∠CAB.
与∠BDC＝∠CAB相矛盾，
∴假设不成立，即AB＝AC.
．
1．如图，过点A画直线l的平行线，能画( )
第1题图
A．两条以上 B．2条
C．1条 D．0条
2．[2022·十堰]如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是( )
第2题图
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
3．如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交，小明觉得直线c也一定和b相交．小明的判断正确吗？请说明理由．
第3题图
