三角形的外角
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的一个外角．
三角形的一个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角．一个三角形共有6个外角，通常每个顶点处只取一个外角．
推论的定义
由一个基本事实或定理直接推出的真命题，叫做这个基本事实或定理的推论．
三角形内角和定理的推论
1．推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是直角三角形；三角形的每个外角大于与它相邻的内角时，该三角形是锐角三角形；三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，该三角形是钝角三角形．
三角形内角和定理的推论
典例1 如图，求证：
典例1图
(1)∠BDC＞∠A；
(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.
延长BD，交AC于点E(或连接BD，或连接AD并延长)，构造两个三角形，在这两个三角形中，借助三角形内角和的推论，寻找角的关系进行证明即可．
证明：如图，延长BD与AC相交于点E.
典例1图
(1)∵∠BDC是△CDE的一个外角，
∴∠BDC＞∠1.
又∵∠1是△BEA的一个外角，
∴∠1＞∠A.
∴∠BDC＞∠A；
(2)∵∠1是△BEA的一个外角，
∴∠1＝∠B＋∠A.
又∵∠BDC是△CDE的一个外角，
∴∠BDC＝∠C＋∠1.
∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)中的结论∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A是一个常见的结论．
变式图
变式 如图，P为△ABC内一点，延长BP交AC于点D.用“＜”表示∠1，∠2，∠A的关系为∠A＜∠2＜∠1．
三角形内角和定理及其推论的应用
典例2 如图，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E为五角星的五个角，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
典例2图
连接CD，利用三角形内角和定理及其推论，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化为∠A＋∠ACD＋∠ADC即可求解．(本题有多种解题方法，方法合理即可)
典例2图
解：如图，连接CD，
∴∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC.
∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E
＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋(∠B＋∠E)
＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠FCD＋∠FDC
＝∠A＋(∠ACE＋∠FCD)＋(∠FDC＋∠ADB)
＝∠A＋∠ACD＋∠ADC
＝180°.
变式 小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D＋∠E等于( B )
变式图
A．100° B．110° C．120° D．130°
1．[2024春·南京期中]如图，在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠DBC＝112°，∠A＝35°，则∠C的度数为( D )
第1题图
A．35° B．55° C．68° D．77°
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的度数为( C )
第2题图
A．140° B．190° C．240° D．320°
3．如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( B )
第3题图
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为110°．
第4题图
5．已知，如图，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证：
(1)∠EGH＞∠ADE；
(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
第5题图
证明：(1)∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B.
又∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∴∠EGH＞∠ADE；
(2)∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE＝∠A＋∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH＝∠B＋∠BFE，
∴∠EGH＝∠B＋∠A＋∠AEF，
又∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∴∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于 ．
其他重要结论
1．直角三角形的两个锐角 ．
2．有两个角互余的三角形是 ．
3．四边形的内角和等于 ．
三角形内角和定理
典例 如图，已知AB∥DE.
求证：∠B＋∠C＋∠E＝360°.
典例图
方法一：过点C作AB的平行线，把∠BCE分割成两个角，应用平行线的性质即可证得．方法二：连接BE，借助三角形内角和定理和平行线性质定理证明即可．
变式 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D.
变式图
(1)若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠BDC＝ ；
(2)若∠A＝100°，则∠BDC＝ ；
(3)若∠A＝n°，则∠BDC＝ ．
1．如图，在三角形中，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )
第1题图
A．20° B．50° C．80° D．100°
2．[2024·齐齐哈尔]将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
第2题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．[2024·德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于( )
第3题图
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝39°，∠BEG＝52°，则∠EHF的大小为 ．
第4题图三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°．
其他重要结论
1．直角三角形的两个锐角互余．
2．有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．四边形的内角和等于360°．
三角形内角和定理
典例 如图，已知AB∥DE.
求证：∠B＋∠C＋∠E＝360°.
典例图
方法一：过点C作AB的平行线，把∠BCE分割成两个角，应用平行线的性质即可证得．方法二：连接BE，借助三角形内角和定理和平行线性质定理证明即可．
证明：连接BE.
典例图
∵AB∥DE，
∴∠ABE＋∠DEB＝180°.
又∵∠EBC＋∠BEC＋∠C＝180°，
∴∠ABE＋∠DEB＋∠EBC＋∠BEC＋∠C＝360°，
即∠ABC＋∠C＋∠DEC＝360°.
变式 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D.
变式图
(1)若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠BDC＝125°；
(2)若∠A＝100°，则∠BDC＝140°；
(3)若∠A＝n°，则∠BDC＝90°＋．
1．如图，在三角形中，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3的度数为( C )
第1题图
A．20° B．50° C．80° D．100°
2．[2024·齐齐哈尔]将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是( B )
第2题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．[2024·德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于( B )
第3题图
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝39°，∠BEG＝52°，则∠EHF的大小为71.5°．
第4题图
解析：∵∠AEF＝39°，∠BEG＝52°，
∴∠FEG＝180°－∠AEF－∠BEG＝89°，
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝∠AEF＝39°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠EFG＝×39°＝19.5°，
∴∠EHF＝180°－∠EFH－∠FEG＝180°－19.5°－89°＝71.5°.
∴∠EHF的度数为71.5°.三角形的外角
三角形内角的一条边与另一条边的 组成的角，称为三角形的一个外角．
三角形的一个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角．一个三角形共有6个外角，通常每个顶点处只取一个外角．
推论的定义
由一个基本事实或定理直接推出的 命题，叫做这个基本事实或定理的推论．
三角形内角和定理的推论
1．推论1：三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和．
2．推论2：三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角．
三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是直角三角形；三角形的每个外角大于与它相邻的内角时，该三角形是锐角三角形；三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，该三角形是钝角三角形．
三角形内角和定理的推论
典例1 如图，求证：
典例1图
(1)∠BDC＞∠A；
(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)中的结论∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A是一个常见的结论．
变式图
变式 如图，P为△ABC内一点，延长BP交AC于点D.用“＜”表示∠1，∠2，∠A的关系为 ．
三角形内角和定理及其推论的应用
典例2 如图，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E为五角星的五个角，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
典例2图
变式 小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D＋∠E等于( )
变式图
A．100° B．110° C．120° D．130°
1．[2024春·南京期中]如图，在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠DBC＝112°，∠A＝35°，则∠C的度数为( )
第1题图
A．35° B．55° C．68° D．77°
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的度数为( )
第2题图
A．140° B．190° C．240° D．320°
3．如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( )
第3题图
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
第4题图
5．已知，如图，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证：
(1)∠EGH＞∠ADE；
(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
第5题图
