频率及其稳定性
在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则 称为事件A发生的频率．
在试验次数很大时，不确定事件发生的频率都会在一个 附近摆动，这个性质称为频率的稳定性．
频率在一定程度上可以反映事件发生可能性的大小，但频率本身是随机的，在试验之前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性大小．在大量重复试验的情况下，可以近似地作为这个事件发生的概率．
概率的定义
刻画事件A发生的可能性 ，叫做事件A发生的概率，记为
各种事件的概率
必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ，不确定事件A发生的概率P( )是 的一个常数．
频率的稳定性
典例1 某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果，下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子数n 30 75 130 210 480 856 1 250 2 300
发芽数m 28 72 125 200 457 814 1 187 2 185
发芽频率 0.933 3 0.960 0 0.961 5 0.952 4 0.952 1 0.950 9 0.949 6 0.950 0
依据表中的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽率约是 ．(结果精确到0.01)
根据表格数据可知，随着种子数的增加，发芽数也增加，并且发芽频率逐渐稳定到0.95附近．所以估计这种植物种子在该实验条件下发芽率约是0.95.
变式 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如表：
摸球的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5
该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 (精确到0.01)，由此估出红球有 个．
用频率估计概率
典例2 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如表：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
(1)a＝ ，b＝ ；(结果精确到0.01)
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由；
(3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
(1)发芽的频率＝；(2)用频率估计概率；(3)用10 000乘发芽率的估计值再乘成秧率即可．
变式 [2023春·西安期中]一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为( )
变式图
A．4 B．6 C．8 D．10
1．[2024·银川一模]一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为( )
A．12 B．18 C．27 D．36
2．班级共有40名学生，在一次体育抽测中有4人不合格，那么不合格人数的频率为 ．
3．[2024·宁夏]为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1 000 1 500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1 350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1)．
4．[2024·济南一模]为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼 身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼、通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
5．(推理能力)[2024秋·句容期中]某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：
第5题图
(1)该名运动员正中靶心的频率在 附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 (结果精确到0.1)；
(2)如果一次练习时他一共打了150枪，
①试估计他正中靶心的枪数；
②如果他想要在这次练习中打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？频率及其稳定性
在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率．
在试验次数很大时，不确定事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性．
频率在一定程度上可以反映事件发生可能性的大小，但频率本身是随机的，在试验之前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性大小．在大量重复试验的情况下，可以近似地作为这个事件发生的概率．
概率的定义
刻画事件A发生的可能性大小的数值，叫做事件A发生的概率，记为P(A)．
各种事件的概率
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数．
频率的稳定性
典例1 某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果，下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子数n 30 75 130 210 480 856 1 250 2 300
发芽数m 28 72 125 200 457 814 1 187 2 185
发芽频率 0.933 3 0.960 0 0.961 5 0.952 4 0.952 1 0.950 9 0.949 6 0.950 0
依据表中的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽率约是0.95．(结果精确到0.01)
根据表格数据可知，随着种子数的增加，发芽数也增加，并且发芽频率逐渐稳定到0.95附近．所以估计这种植物种子在该实验条件下发芽率约是0.95.
变式 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如表：
摸球的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5
该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.33(精确到0.01)，由此估出红球有2个．
用频率估计概率
典例2 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如表：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
(1)a＝ ，b＝ ；(结果精确到0.01)
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由；
(3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
(1)发芽的频率＝；(2)用频率估计概率；(3)用10 000乘发芽率的估计值再乘成秧率即可．
解：(1)a＝＝0.70，b＝＝0.70.
故答案为：0.70，0.70；
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，理由：在相同条件下，多次试验，某一事件发生的频率近似等于概率；
(3)10 000×0.70×90%＝6 300(棵)．
答：10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6 300棵．
变式 [2023春·西安期中]一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为( C )
变式图
A．4 B．6 C．8 D．10
1．[2024·银川一模]一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为( C )
A．12 B．18 C．27 D．36
2．班级共有40名学生，在一次体育抽测中有4人不合格，那么不合格人数的频率为0.1．
3．[2024·宁夏]为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1 000 1 500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1 350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是0.9(结果精确到0.1)．
4．[2024·济南一模]为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼 身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼、通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼1 000条．
5．(推理能力)[2024秋·句容期中]某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：
第5题图
(1)该名运动员正中靶心的频率在 附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 (结果精确到0.1)；
(2)如果一次练习时他一共打了150枪，
①试估计他正中靶心的枪数；
②如果他想要在这次练习中打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？
解：(1)0.9，0.9；
(2)①150×0.9＝135(枪)，
答：估计他正中靶心的枪数为135枪；
②180÷0.9＝200(枪)，
200－150＝50(枪)．
答：他还需要打大约50枪．
