利用面积求几何概率
几何概率的大小与图形面积大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积与 之比，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的．
求几何概率通常分三步：(1)首先分析所占的面积与总面积的关系；(2)然后计算出各部分的面积；(3)最后代入公式求出几何概率．
面积类概率
典例 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是( )
典例图
A. B. C. D.
计算出阴影部分的面积占整个面积的比即可得出答案．掌握概率公式是解题的关键．
变式1 [2023春·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E，F分别是AF，BD，CE的中点．一个小球在△ABC区域内自由滚动，它恰好停在空白区域内的概率为( )
变式1图
A. B. C. D.
变式2 [2024·郑州期中]如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在灰色区域的概率是 ．
变式2图
1．如图，将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为( )
第1题图
A. B. C. D.
2．[2024·垦利区二模]如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是( )
第2题图
A. B. C. D.
3．[2024春·宁德期末]如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是( )
第3题图
A. B. C. D.
4．[2023·辽宁]如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
第4题图判断游戏是否公平
计算出游戏双方获胜的概率，如果概率相等，那么这个游戏对于双方就是 的．否则，就是不公平的．
游戏对双方公平，并不是指双方获胜的概率一定是，而是双方获胜的概率相同．
叙述游戏规则的三个要点
对于“摸球类”游戏，要想试验的结果是等可能的，游戏规则中要含有三个要点：①一个不透明的袋子；②完全一样；③任意摸出一个．
通过修改游戏规则，可以改变游戏的公平性．
游戏的公平性
典例1 将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题．
(1)随机抽取一张，抽到4的概率 ；
(2)随机抽取一张，抽出奇数的概率 ；
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则(不改变卡片的数量和内容)使游戏公平．
变式 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.甲、乙二人做游戏，抛出小正方体后，如果朝上一面的数字出现偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率是 ，游戏 (填“是”或“不是”)公平的．
设计游戏
典例2 请你用12个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得：
(1)袋子中要有黄球、绿球和红球三种球．
(2)摸到球的概率，P(摸到红球)＝，P(摸到黄球)＝.
并求出摸到绿球的概率．
根据概率公式计算出每种球的个数；依据游戏规则的三个要点以及三种球的个数叙述规则；通过概率公式计算出摸到绿球的概率．
变式 用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率是.
1．小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉， 若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏 ．( 填“公平”或“不公平”)
2．小灰灰和美羊羊做游戏：在桌面上放有四张完全相同的卡片，它们上面分别标有数字0，1，2，3.将这四张卡片背面朝上，从中随机抽出一张，抽到奇数说明小灰灰胜，抽到偶数说明美羊羊胜，这个游戏 公平的．( 填“是”或“不是”)
3．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则x的值应为 ．
4．小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球(除颜色不同外其余都相同)，得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 (填“公平”或“不公平”)的．
5．[2024春·芮城县期末]为迎接“五·一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛，某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去，请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由．
第5题图判断游戏是否公平
计算出游戏双方获胜的概率，如果概率相等，那么这个游戏对于双方就是公平的．否则，就是不公平的．
游戏对双方公平，并不是指双方获胜的概率一定是，而是双方获胜的概率相同．
叙述游戏规则的三个要点
对于“摸球类”游戏，要想试验的结果是等可能的，游戏规则中要含有三个要点：①一个不透明的袋子；②完全一样；③任意摸出一个．
通过修改游戏规则，可以改变游戏的公平性．
游戏的公平性
典例1 将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题．
(1)随机抽取一张，抽到4的概率；
(2)随机抽取一张，抽出奇数的概率；
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则(不改变卡片的数量和内容)使游戏公平．
解：(3)因为弟弟抽到奇数的概率是，而哥哥抽到偶数的概率是，因此游戏不公平．
(示例)可以将游戏规则改为：抽出大于3的哥哥赢，抽出小于3的弟弟赢．
变式 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.甲、乙二人做游戏，抛出小正方体后，如果朝上一面的数字出现偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率是，游戏是(填“是”或“不是”)公平的．
设计游戏
典例2 请你用12个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得：
(1)袋子中要有黄球、绿球和红球三种球．
(2)摸到球的概率，P(摸到红球)＝，P(摸到黄球)＝.
并求出摸到绿球的概率．
根据概率公式计算出每种球的个数；依据游戏规则的三个要点以及三种球的个数叙述规则；通过概率公式计算出摸到绿球的概率．
解：红球有12×＝3(个)；黄球有12×＝8(个)；绿球有12－3－8＝1(个)．
游戏规则为：在一个不透明的袋中，装有12个球，其中红球3个，黄球8个，绿球1个，它们除了颜色外都相同，任意摸出一个球．
∵绿球有1个．
∴P(摸到绿球)＝.
变式 用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率是.
解：(示例)在一个不透明的袋子里装有10个球，它们除颜色外完全相同，其中有且仅有5个红球，任意摸出一个球．
1．小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉， 若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏不公平．( 填“公平”或“不公平”)
2．小灰灰和美羊羊做游戏：在桌面上放有四张完全相同的卡片，它们上面分别标有数字0，1，2，3.将这四张卡片背面朝上，从中随机抽出一张，抽到奇数说明小灰灰胜，抽到偶数说明美羊羊胜，这个游戏是公平的．( 填“是”或“不是”)
3．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则x的值应为4．
4．小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球(除颜色不同外其余都相同)，得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是公平(填“公平”或“不公平”)的．
5．[2024春·芮城县期末]为迎接“五·一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛，某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去，请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由．
第5题图
解：该校工会主席的做法对小张和小李公平．
理由：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”“民主”“文明”“和谐”，出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”“平等”“公正”“法治”，
∴P(小张去)＝＝，P(小李去)＝＝，
∴P(小张去)＝P(小李去)，
∴该校工会主席的做法对小张和小李公平．利用面积求几何概率
几何概率的大小与图形面积大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积与所有事件结果组成的图形面积之比，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的．
求几何概率通常分三步：(1)首先分析所占的面积与总面积的关系；(2)然后计算出各部分的面积；(3)最后代入公式求出几何概率．
面积类概率
典例 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是( D )
典例图
A. B. C. D.
计算出阴影部分的面积占整个面积的比即可得出答案．掌握概率公式是解题的关键．
变式1 [2023春·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E，F分别是AF，BD，CE的中点．一个小球在△ABC区域内自由滚动，它恰好停在空白区域内的概率为( D )
变式1图
A. B. C. D.
变式2 [2024·郑州期中]如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在灰色区域的概率是．
变式2图
1．如图，将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为( B )
第1题图
A. B. C. D.
2．[2024·垦利区二模]如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是( B )
第2题图
A. B. C. D.
3．[2024春·宁德期末]如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是( C )
第3题图
A. B. C. D.
4．[2023·辽宁]如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为．
第4题图利用扇形面积之比求概率
在转盘类游戏里面，事件发生的概率往往等于面积之比，而扇形面积又与扇形圆心角有关，所以事件发生的概率又等于圆心角之比．
设计游戏
利用转盘设计游戏，要分清把转盘一共等分成几份(有的是明分，有的是暗分)，符合要求的是几份．
利用扇形面积之比求概率
典例1 五一节期间商场举行优惠活动，设立了如图可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，任意转动转盘，如果停止后，指针正好对准有色区域即可获奖，则参与活动的顾客获奖概率是．
典例1图
圆周被分成了16份，黄色、绿色、红色区域的份数之和为7份，根据概率公式计算即可．
变式 如图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止转动后，为
变式图
使指针落在红色区域的概率是，则应再将区域①④(或②③)涂成红色．(填序号)
设计游戏
典例2 请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在蓝色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为.
本题答案不唯一．根据题意，可以把转盘分成8等份，其中3份蓝色，3份红色，两份黄色，这样计算出来的概率符合题意．
解：(示例)把一个转盘分成8等份，其中3份蓝色，3份红色，2份黄色，如图：
典例2图
变式 小明想设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在蓝色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为.如果小明把这个转盘等分成了18份，那么蓝色区域应该占8份，红色区域占6份．
1．[2024春·岱岳区期末]某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为( D )
第1题图
A. B. C. D.
2．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在灰色区域的概率是( A )
第2题图
A. B. C. D.
3．[2024·济南]如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为．
第3题图
4．[2024·株洲模拟]如图，一个自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动，若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止，乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为．
第4题图等可能事件的概率
一般的，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为 ．
(1)在每一次试验中，可能出现的结果是有限的；(2)在每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．
掌握实际生活中概率的求法
典例1 [2024·雅安]将－2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
从中任意抽取一张卡片，一共有6种等可能的结果，其中抽取到有理数的卡片有4种，分别为：－2，，0，3.14，从而可以计算出相应的概率P(卡片上的数为有理数)＝＝.
变式 [2024·辽宁]一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是( )
A．摸出白球 B．摸出红球
C．摸出绿球 D．摸出黑球
由概率求数量
典例2 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ ．
盒子中共有2÷＝3(个)球，黄球的个数为n＝3－2＝1(个)．
变式 [2024·上海]一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
1．[2024·广西]不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是( )
A．1 B. C. D.
2．[2023·南充]不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个．
3．[2024·浙江]有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8.从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 ．
4．[2024·资阳]一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝ ．利用扇形面积之比求概率
在转盘类游戏里面，事件发生的概率往往等于面积之比，而扇形面积又与扇形圆心角有关，所以事件发生的概率又等于 之比．
设计游戏
利用转盘设计游戏，要分清把转盘一共等分成几份(有的是明分，有的是暗分)，符合要求的是几份．
利用扇形面积之比求概率
典例1 五一节期间商场举行优惠活动，设立了如图可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，任意转动转盘，如果停止后，指针正好对准有色区域即可获奖，则参与活动的顾客获奖概率是 ．
典例1图
圆周被分成了16份，黄色、绿色、红色区域的份数之和为7份，根据概率公式计算即可．
变式 如图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止转动后，为
变式图
使指针落在红色区域的概率是，则应再将区域 涂成红色．(填序号)
设计游戏
典例2 请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在蓝色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为.
本题答案不唯一．根据题意，可以把转盘分成8等份，其中3份蓝色，3份红色，两份黄色，这样计算出来的概率符合题意．
变式 小明想设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在蓝色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为.如果小明把这个转盘等分成了18份，那么蓝色区域应该占 份，红色区域占 份．
1．[2024春·岱岳区期末]某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为( )
第1题图
A. B. C. D.
2．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在灰色区域的概率是( )
第2题图
A. B. C. D.
3．[2024·济南]如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
第3题图
4．[2024·株洲模拟]如图，一个自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动，若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止，乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
第4题图等可能事件的概率
一般的，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
(1)在每一次试验中，可能出现的结果是有限的；(2)在每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．
掌握实际生活中概率的求法
典例1 [2024·雅安]将－2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是．
从中任意抽取一张卡片，一共有6种等可能的结果，其中抽取到有理数的卡片有4种，分别为：－2，，0，3.14，从而可以计算出相应的概率P(卡片上的数为有理数)＝＝.
变式 [2024·辽宁]一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是( B )
A．摸出白球 B．摸出红球
C．摸出绿球 D．摸出黑球
由概率求数量
典例2 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝1．
盒子中共有2÷＝3(个)球，黄球的个数为n＝3－2＝1(个)．
变式 [2024·上海]一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有3个绿球．
1．[2024·广西]不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是( D )
A．1 B. C. D.
2．[2023·南充]不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有6个．
3．[2024·浙江]有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8.从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是．
4．[2024·资阳]一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝9．
