二元一次方程的有关概念
1．定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0，a，b，c均为常数，x，y为未知数)．
3．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
4．二元一次方程的解的求法：先用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后求出它的一个解．
①“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数分别为1.例如3xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数分别为1，但含有未知数的项“3xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程．②方程x＋y＝3的解有无数个，但正整数解只有和
二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程组的定义
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如和等都是二元一次方程组．
2．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
二元一次方程的概念
典例1 下列方程：①2x＋y＝－1 ②＝0③y＋3＝11 ④x＋＝2 ⑤x2－2y＝1⑥3x－2y＋4z＝0.其中二元一次方程的个数为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
此题要紧扣二元一次方程的定义：(1)两个未知数；(2)含有未知数的项的次数都是1；(3)整式方程；来考虑辨析．①②是二元一次方程，③是一元一次方程，④中不是整式，⑤中x2项的次数是2，⑥中含有三个未知数．
变式 下列方程：①x＝y－1 ②＝1③m2－1＝n ④5xy＝7 ⑤7x2＋5y＝2⑥11x＝6y＋5.其中是二元一次方程的有①②⑥(填序号)．
二元一次方程(组)的解
典例2 判断下列各组数是不是二元一次方程组的解．
(1) (2)
将每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①又满足方程②的是此方程组的解，否则就不是．
解：(1)将代入方程①，左边＝2×7－7＝7，右边＝5，左边≠右边，所以不满足方程①，故不是原方程组的解；
(2)将代入方程①，左边＝2×3－1＝5＝右边，所以满足方程①；
将代入方程②，左边＝3×3＋1＝10＝右边，所以也满足方程②，
故是原方程组的解．
检验一组未知数的值是不是某个方程组的解，当发现这对数不满足其中某一个方程时，无需继续检验，就可以判定它不是此方程组的解；当验证这对数满足其中某一个方程时，还必须继续检验是否满足方程组中其他方程，只有同时满足方程组中所有的方程，它才是此方程组的解．
变式1 [益阳中考]同时满足二元一次方程x－y＝9和4x＋3y＝1的x，y的值
为( A )
A. B.
C. D.
变式2 [2023春·铁岭期中改编]二元一次方程x＋2y＝5的正整数解有2组．
根据题意列方程组
典例3 [2024·周口模拟]创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，则可列方程组：．
根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”即可列出二元一次方程组．
变式 [2023·宁波]茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( B )
A. B.
C. D.
1．[2024春·江干区期末]下列是二元一次方程的是( D )
A．5x＋4＝9 B.＋＝3
C．x2＋2＋y＝0 D．3x＋2＝y
2．[2024·黑龙江]国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[2024·威海]《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是( C )
A. B.
C. D.
4．已知(m＋1)x|m|＋y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝1．
5．方程3x＋2y＝15的正整数解有2个.二元一次方程的有关概念
1．定义：含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程．
2．一般形式： (a≠0，b≠0，a，b，c均为常数，x，y为未知数)．
3．二元一次方程的一个 适合一个二元一次方程的一组 的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
4．二元一次方程的解的求法：先用含其中一个未知数的代数式表示 ，然后求出它的一个解．
①“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数分别为1.例如3xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数分别为1，但含有未知数的项“3xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程．②方程x＋y＝3的解有无数个，但正整数解只有和
二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程组的定义
共含有 个未知数的 个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如和等都是二元一次方程组．
2．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的 叫做这个二元一次方程组的解．
二元一次方程的概念
典例1 下列方程：①2x＋y＝－1 ②＝0③y＋3＝11 ④x＋＝2 ⑤x2－2y＝1⑥3x－2y＋4z＝0.其中二元一次方程的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
此题要紧扣二元一次方程的定义：(1)两个未知数；(2)含有未知数的项的次数都是1；(3)整式方程；来考虑辨析．①②是二元一次方程，③是一元一次方程，④中不是整式，⑤中x2项的次数是2，⑥中含有三个未知数．
变式 下列方程：①x＝y－1 ②＝1③m2－1＝n ④5xy＝7 ⑤7x2＋5y＝2⑥11x＝6y＋5.其中是二元一次方程的有 (填序号)．
二元一次方程(组)的解
典例2 判断下列各组数是不是二元一次方程组的解．
(1) (2)
检验一组未知数的值是不是某个方程组的解，当发现这对数不满足其中某一个方程时，无需继续检验，就可以判定它不是此方程组的解；当验证这对数满足其中某一个方程时，还必须继续检验是否满足方程组中其他方程，只有同时满足方程组中所有的方程，它才是此方程组的解．
变式1 [益阳中考]同时满足二元一次方程x－y＝9和4x＋3y＝1的x，y的值
为( )
A. B.
C. D.
变式2 [2023春·铁岭期中改编]二元一次方程x＋2y＝5的正整数解有 组．
根据题意列方程组
典例3 [2024·周口模拟]创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，则可列方程组： ．
根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”即可列出二元一次方程组．
变式 [2023·宁波]茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A. B.
C. D.
1．[2024春·江干区期末]下列是二元一次方程的是( )
A．5x＋4＝9 B.＋＝3
C．x2＋2＋y＝0 D．3x＋2＝y
2．[2024·黑龙江]国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[2024·威海]《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是( )
A. B.
C. D.
4．已知(m＋1)x|m|＋y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ．
5．方程3x＋2y＝15的正整数解有 个.
