列二元一次方程组解应用题的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的一般步骤为：“审”“设”“找”“列”“解”“答”．其中“找”是指通过审题找 这是列方程解应用题的关键一步．一般来说，有几个未知数就有几个等量关系．
列方程解应用题常用的关系式
1．工程问题：工作总量＝ ×工作时间．
2．行程问题：路程＝ ×时间．
3．价格问题：总价＝ ×数量．
4．银行利率问题：利息＝ ×利率×时间．
5．税后利息＝本金×利率×时间－本金×利率×时间×税率．
配比问题
典例1 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个，或桌腿300条，现有5m3的木料，那么用多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成多少方桌？
变式 [2024·赤峰]用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( )
A.
B.
C.
D.
行程问题
典例2 一列快车长70 m，慢车长80 m．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间(即“会车”时间)为20 s．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为 4 s，求两车每小时各行多少千米？
此题是追及问题和相遇问题的一种变式，解决这类问题的关键在于路程的确定．同向而行时，可看作快车的车尾追慢车的车头，同时不同地相距70 m＋80 m(如图1所示)；相向而行时，可看作是两车的车尾从相距70 m＋80 m的两地相向而行到相遇(如图2所示)．
典例2图
变式 甲、乙二人分别从相距20 km的A，B两地出发，相向而行，如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h，乙的速度是y km/h，根据题意所列的方程组是 ．
变式图
1．[2024春·巴彦县期末]甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8 m，那么甲跑4 s就能追上乙；如果甲让乙先跑1 s，那么甲跑3 s 就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑x m和y m，则可列出的方程组是( )
A.
B.
C.
D.
2．[2024春·内丘县期末]某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，1个甲种玩具零件与2个乙种玩具零件能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能使在30天内组装出的玩具全部配套( 每天只生产一种玩具零件)？设该玩具车间生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则所列方程组为 (不用化简)．
3．[2024春·惠州期中]据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．列二元一次方程组解应用题的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的一般步骤为：“审”“设”“找”“列”“解”“答”．其中“找”是指通过审题找等量关系．这是列方程解应用题的关键一步．一般来说，有几个未知数就有几个等量关系．
列方程解应用题常用的关系式
1．工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间．
2．行程问题：路程＝速度×时间．
3．价格问题：总价＝单价×数量．
4．银行利率问题：利息＝本金×利率×时间．
5．税后利息＝本金×利率×时间－本金×利率×时间×税率．
配比问题
典例1 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个，或桌腿300条，现有5m3的木料，那么用多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成多少方桌？
配比问题的难点就是搞清“倍数”关系．本题中，1个桌面配4条桌腿，也就是说桌腿数是桌面数的4倍．如果设xm3做桌面，ym3做桌腿，那么可做桌面50x个，可做桌腿300y条，由倍数关系得 4×50x ＝300y .另一关系式易得x＋y＝5.联立方程组，解题即可．
解：设用x立方米做桌面，y立方米做桌腿．
则可以做桌面50x个，做桌腿300y条．
根据题意，得
解得
3×50＝150(张)．
所以用3立方米做桌面，2立方米做桌腿，恰能配成方桌，共可做成150张方桌．
变式 [2024·赤峰]用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( C )
A.
B.
C.
D.
行程问题
典例2 一列快车长70 m，慢车长80 m．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间(即“会车”时间)为20 s．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为 4 s，求两车每小时各行多少千米？
此题是追及问题和相遇问题的一种变式，解决这类问题的关键在于路程的确定．同向而行时，可看作快车的车尾追慢车的车头，同时不同地相距70 m＋80 m(如图1所示)；相向而行时，可看作是两车的车尾从相距70 m＋80 m的两地相向而行到相遇(如图2所示)．
典例2图
解：设快车每秒行驶x m，慢车每秒行驶y m.
根据题意，得
解得
又因为1 m/s＝3.6 km/h，
所以快车速度为22.5×3.6＝81(km/h)；
慢车速度为15×3.6＝54(km/h)．
答：快车每小时行81 km，慢车每小时行54 km.
变式 甲、乙二人分别从相距20 km的A，B两地出发，相向而行，如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h，乙的速度是y km/h，根据题意所列的方程组是．
变式图
1．[2024春·巴彦县期末]甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8 m，那么甲跑4 s就能追上乙；如果甲让乙先跑1 s，那么甲跑3 s 就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑x m和y m，则可列出的方程组是( A )
A.
B.
C.
D.
2．[2024春·内丘县期末]某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，1个甲种玩具零件与2个乙种玩具零件能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能使在30天内组装出的玩具全部配套( 每天只生产一种玩具零件)？设该玩具车间生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则所列方程组为(不用化简)．
3．[2024春·惠州期中]据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意，得
解得
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克．
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克．数字的表示
1．若十位上的数字是x，个位上的数字是y，那么这个两位数可表示为 ．
2．若百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么这个三位数可表示为 ．
3．一个两位数，十位数字是m，个位数字是n，若在这个两位数中间加一个0，得到一个三位数，则这个三位数可表示为 .
数字问题
典例 [2023春·西安期末]有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45.设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组： ．
设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，那么原两位数可表示为10y＋x.此题中的等量关系有：①有一个两位数，它的两个数字之和为9，可得出方程x＋y＝9；②把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45，可得出方程(10x＋y)－(10y＋x)＝45.
变式 一个三位数，三个数位上的数字之和为17；百位上的数字与十位上的数字的和比个位数大3；如果把百位上的数字与个位上的数字对调，所得新数比原数小198，则原数为 ．
1．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是( )
A．47 B．56 C．63 D．84
2．[2024春·东城区期末]幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现洛书将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是( )
第2题图
4b－2 12
2a＋1 7
3b－3 2a
A.a＝－4，b＝3
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝3
D．a＝4，b＝－3
3．[2024春·平南县期末]一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是 ．
4．已知一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为8.若在其中间加一个0，与原数的和为340，求这个两位数是多少？列二元一次方程组解应用题的一般步骤
1．“审”：审题，分析题中已知什么，要求什么，明确各数量之间的关系．
2．“设”：设未知数．
3．“找”：找出两个等量关系．
4．“列”：根据这两个等量关系列出需要的两个二元一次方程，组成二元一次方程组．
5．“解”：解方程组．
6．“答”：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案(包括单位名称)．
“鸡兔同笼”问题
典例 [2024·通辽节选]某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元．
设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可．
解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．
由题意，得
解得
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台．
变式 [2024·安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
解：设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面积为y公顷，
由题意，得
解得
答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷．
1．[2024·兰州]数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为( A )
A.
B.
C.
D.
2．[2024·盐城]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为15尺．
3．[2023·山西节选]风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．求1个A部件和1个B部件的质量各是多少．
解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得
解得
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．数字的表示
1．若十位上的数字是x，个位上的数字是y，那么这个两位数可表示为10x＋y．
2．若百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c．
3．一个两位数，十位数字是m，个位数字是n，若在这个两位数中间加一个0，得到一个三位数，则这个三位数可表示为100m＋n.
数字问题
典例 [2023春·西安期末]有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45.设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组：．
设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，那么原两位数可表示为10y＋x.此题中的等量关系有：①有一个两位数，它的两个数字之和为9，可得出方程x＋y＝9；②把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大45，可得出方程(10x＋y)－(10y＋x)＝45.
变式 一个三位数，三个数位上的数字之和为17；百位上的数字与十位上的数字的和比个位数大3；如果把百位上的数字与个位上的数字对调，所得新数比原数小198，则原数为917．
1．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是( C )
A．47 B．56 C．63 D．84
2．[2024春·东城区期末]幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现洛书将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是( C )
第2题图
4b－2 12
2a＋1 7
3b－3 2a
A.a＝－4，b＝3
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝3
D．a＝4，b＝－3
3．[2024春·平南县期末]一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是34．
4．已知一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为8.若在其中间加一个0，与原数的和为340，求这个两位数是多少？
解：设原数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意，得
解得
即原数是35.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
1．“审”：审题，分析题中已知什么，要求什么，明确各数量之间的关系．
2．“设”：设未知数．
3．“找”：找出两个 ．
4．“列”：根据这两个等量关系列出需要的两个 ，组成 ．
5．“解”：解方程组．
6．“答”：检验所求未知数的值是否 ，写出答案(包括单位名称)．
“鸡兔同笼”问题
典例 [2024·通辽节选]某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元．
设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可．
变式 [2024·安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
1．[2024·兰州]数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为( )
A.
B.
C.
D.
2．[2024·盐城]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
3．[2023·山西节选]风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．求1个A部件和1个B部件的质量各是多少．
