三元一次方程的概念
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做三元一次方程．
三元一次方程组的概念
共含有三个未知数的三个 方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的解
三元一次方程组中的各个方程的 解，叫做这个三元一次方程组的解．
三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路仍然是 ，一般地，仍利用 消元法或 消元法先消去一个未知数，从而变 为 ，然后解这个 ，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．
类比二元一次方程，理解三元一次方程的相关概念，加深对“元”和“次”的认识．方程组“含三个未知数”并不一定是每个方程都含有三个未知数，而是一共含有三个未知数．
解三元一次方程组
典例1 解方程组：
变“三元”为“二元”时，通常我们会选择消去系数最简单的未知数．
变式 [2023春·城西区期中]解方程组：
列三元一次方程组解决实际问题
典例2 (应用意识)“十一”黄金周期间，为了满足居民的消费需求，某商店计划用165 200元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表所示：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价 2 000 1 600 1 000
售价 2 200 1 800 1 100
如果购进上述三类家电共100台，并且能使商店销售完这批家电后获得的利润为18 400元，请问每类家电各购进多少台？
题目中的等量关系：①三类家电共100台；②购进三类家电共用165 200元；③销售完这批家电后获得的利润为18 400元，由此即可列出三元一次方程组求解．
在实际问题中，如果所求的未知数有三个，题目中相应的等量关系也有三个，可考虑列三元一次方程组解决这个实际问题．
变式1 [2024春·岚山区期末]某校开学典礼需要购买一、二、 三等奖奖品若干， 若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元，则购买一件二等奖奖品需要的钱数是( )
A．20元 B．30元
C．40元 D．50元
变式2 明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A，B两本书共花费100.5元，丽丽买了A，C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵 元；若又知B，C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A，B，C三本书的总价钱为 元．
1．[2024春·鼓楼区期末]下列方程中，属于三元一次方程的是( )
A．π＋x＋y＝6
B．xy＋y＋z＝6
C．x＋2y＋3z＝9
D．3x＋2y－4z＝4x＋2y－2z
2．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( )
A. B.
C. D.
3．[2024春·邯山区期末]已知方程组则x＋y＋z的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．[2024春·文登区期末]方程组的解使代数式kx＋2y－z的值为－5，则k的值为( )
A．0 B. C．－ D.三元一次方程的概念
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程．
三元一次方程组的概念
共含有三个未知数的三个一次方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的解
三元一次方程组中的各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．
三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路仍然是消元，一般地，仍利用代入消元法或加减消元法先消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．
类比二元一次方程，理解三元一次方程的相关概念，加深对“元”和“次”的认识．方程组“含三个未知数”并不一定是每个方程都含有三个未知数，而是一共含有三个未知数．
解三元一次方程组
典例1 解方程组：
本题所采用的方法不唯一，可先消去y，也可以先消去x或先消去z.
解：②×2－③，得到x＋10z＝23，④
①＋③，得4x－3z＝6，⑤
联立④⑤，得
解这个方程组，得
把代入②中，得y＝－2，
所以原方程组的解为
变“三元”为“二元”时，通常我们会选择消去系数最简单的未知数．
变式 [2023春·城西区期中]解方程组：
解：①＋②＋③得2x＋2y＋2z＝3＋(－2)＋9，
解得x＋y＋z＝5，④
④－①得z＝2，
④－②得x＝7，
④－③得y＝－4，
所以原方程组的解为
列三元一次方程组解决实际问题
典例2 (应用意识)“十一”黄金周期间，为了满足居民的消费需求，某商店计划用165 200元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表所示：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价 2 000 1 600 1 000
售价 2 200 1 800 1 100
如果购进上述三类家电共100台，并且能使商店销售完这批家电后获得的利润为18 400元，请问每类家电各购进多少台？
题目中的等量关系：①三类家电共100台；②购进三类家电共用165 200元；③销售完这批家电后获得的利润为18 400元，由此即可列出三元一次方程组求解．
解：设商店购进彩电x台，冰箱y台，洗衣机z台．
根据题意，得
，
解这个方程组，得
答：商店购进彩电37台，冰箱47台，洗衣机16台．
在实际问题中，如果所求的未知数有三个，题目中相应的等量关系也有三个，可考虑列三元一次方程组解决这个实际问题．
变式1 [2024春·岚山区期末]某校开学典礼需要购买一、二、 三等奖奖品若干， 若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元，则购买一件二等奖奖品需要的钱数是( B )
A．20元 B．30元
C．40元 D．50元
变式2 明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A，B两本书共花费100.5元，丽丽买了A，C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵12元；若又知B，C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A，B，C三本书的总价钱为126元．
1．[2024春·鼓楼区期末]下列方程中，属于三元一次方程的是( C )
A．π＋x＋y＝6
B．xy＋y＋z＝6
C．x＋2y＋3z＝9
D．3x＋2y－4z＝4x＋2y－2z
2．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( A )
A. B.
C. D.
3．[2024春·邯山区期末]已知方程组则x＋y＋z的值是( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．[2024春·文登区期末]方程组的解使代数式kx＋2y－z的值为－5，则k的值为( C )
A．0 B. C．－ D.
