不等式的基本性质
1．性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向 ．
用式子表达：a＞b a±c＞b±c.
2．性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向 ．
用式子表达：a＞b且c＞0 ac＞bc；＞.
3．性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 ．
用式子表达：a＞b且c＜0 ac＜bc；＜.
不等式基本性质的应用
不等式的三个基本性质是不等式变形的主要依据．对基本性质3的运用是重点，也是难点，往往会出现不等式两边都乘(或除以)同一个负数时不等号的方向没有改变的错误．所以若不等式两边都乘(或除以)的数不能确定时，要对这个数的正负性进行
不等式的基本性质
典例1 用“＞”或“＜”填空．
(1)如果由x＜2可以得到(a－b)x＞2(a－b)，那么a与b的大小关系是a b；
(2)若－1＜a＜0，用不等号连接－ －a；
(3)若a＜b＜0，则有a－b 0，a＋b 0，ab 0；
(4)若a＜b，则a＋5 b＋5，－2a－3 －2b－3.
变式 [2024·广州]若a＜b，则( )
A．a＋3＞b＋3 B．a－2＞b－2
C．－a＜－b D．2a＜2b
不等式基本性质的运用
典例2 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)x＞－x－2； (2)－3x＋2＜2x＋3.
变式1 下列不等式的变形正确的是( )
A．由3x－4＞2，得x＞－2
B．由－5x＞3，得x＞－
C．由＞0，得x＞2
D．由－2x－3＜4＋x，得x＞－
变式2 由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是 ．
1．[2023·德阳]如果a>b，那么下列运算正确的是( )
A．a－3C．3a<3b D.<
2．[2024·石景山区一模]已知m＋3<0，则下列结论正确的是( )
A．－3B．m<－3<－m<3
C．－3D．m<－3<3<－m
3．已知a>－2b，则下列结论错误的是( )
A．a＋2b>0 B．a＋1>－2b＋1
C.>－2 D．－a<2b
4．下列不等式变形正确的是( )
A．由a>b，得am>bm
B．由a>b，得a－2 024C．由ab>ac，得bD．由>，得b>c
5．若－5a<－5b，则a b(填“>”或“<”)．
6．[2023·湖州期中]请根据不等式的基本性质填空：
问题：若x＞3y，y＞a，2a－4＞0，试判断x的取值范围．
解答：∵2a－4＞0，
∴2a＞4(理由：不等式的基本性质1)，
∴a＞2(理由： )，
∵y＞a，
∴y＞2(理由：不等式的传递性)，
∴3y＞ (理由： )，
∵x＞3y，
∴x＞ (理由： )．不等式的基本性质
1．性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变．
用式子表达：a＞b a±c＞b±c.
2．性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表达：a＞b且c＞0 ac＞bc；＞.
3．性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表达：a＞b且c＜0 ac＜bc；＜.
不等式基本性质的应用
不等式的三个基本性质是不等式变形的主要依据．对基本性质3的运用是重点，也是难点，往往会出现不等式两边都乘(或除以)同一个负数时不等号的方向没有改变的错误．所以若不等式两边都乘(或除以)的数不能确定时，要对这个数的正负性进行讨论．
不等式的基本性质
典例1 用“＞”或“＜”填空．
(1)如果由x＜2可以得到(a－b)x＞2(a－b)，那么a与b的大小关系是a(2)若－1＜a＜0，用不等号连接－>－a；
(3)若a＜b＜0，则有a－b<0，a＋b<0，ab>0；
(4)若a＜b，则a＋5－2b－3.
本题主要考查不等式的基本性质，尤其是当不等式两边同乘一个数时，要分清是正数还是负数，因为这涉及不等号的方向是否改变．
解析：(1)由题意知，a－b＜0，∴a＜b；
(2)∵－1＜a＜0，∴＜a，∴－＞－a；
(3)∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0，ab＞0；
(4)∵a＜b，∴a＜b，－2a＞－2b，
∴a＋5＜b＋5，－2a－3＞－2b－3.
变式 [2024·广州]若a＜b，则( D )
A．a＋3＞b＋3 B．a－2＞b－2
C．－a＜－b D．2a＜2b
不等式基本性质的运用
典例2 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)x＞－x－2； (2)－3x＋2＜2x＋3.
根据题目要求，只需利用不等式的基本性质，把所给不等式一步步化成所需要的形式．
解：(1)根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上x，不等号的方向不变．
x＋x＞－x－2＋x，即x＞－2；
(2)根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上－2x－2，不等号的方向不变．
－3x＋2－2x－2＜2x＋3－2x－2，
即－5x＜1.
再根据不等式的基本性质3，不等式的两边同时除以－5，不等号的方向改变．
＞，即x＞－.
变式1 下列不等式的变形正确的是( D )
A．由3x－4＞2，得x＞－2
B．由－5x＞3，得x＞－
C．由＞0，得x＞2
D．由－2x－3＜4＋x，得x＞－
变式2 由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是a＜0．
1．[2023·德阳]如果a>b，那么下列运算正确的是( D )
A．a－3C．3a<3b D.<
2．[2024·石景山区一模]已知m＋3<0，则下列结论正确的是( D )
A．－3B．m<－3<－m<3
C．－3D．m<－3<3<－m
3．已知a>－2b，则下列结论错误的是( C )
A．a＋2b>0 B．a＋1>－2b＋1
C.>－2 D．－a<2b
4．下列不等式变形正确的是( D )
A．由a>b，得am>bm
B．由a>b，得a－2 024C．由ab>ac，得bD．由>，得b>c
5．若－5a<－5b，则a>b(填“>”或“<”)．
6．[2023·湖州期中]请根据不等式的基本性质填空：
问题：若x＞3y，y＞a，2a－4＞0，试判断x的取值范围．
解答：∵2a－4＞0，
∴2a＞4(理由：不等式的基本性质1)，
∴a＞2(理由： )，
∵y＞a，
∴y＞2(理由：不等式的传递性)，
∴3y＞ (理由： )，
∵x＞3y，
∴x＞ (理由： )．
解：∵2a－4＞0，
∴2a＞4(理由：不等式的基本性质1)．
∴a＞2(理由：不等式的基本性质2)．
∵y＞a，
∴y＞2(理由：不等式的传递性)．
∴3y＞6(理由：不等式的基本性质2)．
∵x＞3y，
∴x＞6(理由：不等式的传递性)．
故答案为：不等式的基本性质2，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性．
