求一元一次不等式的整数解
求满足不等式的整数解时，(1)首先要求出一元一次不等式的 ；(2)在解集范围内确定整数解．
利用不等式求字母系数的取值范围
求不等式或方程中的字母系数的取值范围时，应首先求出相应的解或解集，其次利用解的范围构造含相应字母的 ，最后解不等式，求出字母的取值范围．
列一元一次不等式解应用题的步骤
审题→设未知数→列不等式→解不等式→检验→写答．
求满足不等式的整数解
典例1 求不等式2(x＋1)－＞的非负整数解．
变式 [2023春·舞钢期中]小红现有18元钱，她想买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本3.6元，她买了2个笔记本，那她还可能买的笔的数量是( )
A．3支 B．2支
C．1支 D．1支、2支或3支
根据不等式或方程(组)解的情况，求待定系数的取值范围
典例2 [2022·聊城]关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为( )
A．k≥8 B．k＞8
C．k≤8 D．k＜8
由两式相减，得到x＋y＝k－3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
变式 关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为( )
A．14 B．7 C．－2 D．2
一元一次不等式的实际应用
典例3 有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球．”试问这个班共有多少位学生？
(1)列不等关系解应用题常常以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等字眼来体现问题中的不等关系，建立不等式，故需抓准关键语句挖掘题意中的不等关系．(2)在解集中寻找符合条件的解时，一定要思考周全，保证实际问题有意义．
变式 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
变式图
1．[2024春·青山区期中]某校举行知识竞赛， 共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为( )
A．5x－3(30－x)>80
B．5x－3(30－x)≤80
C．5x－3x≥80
D．5x－3(30－x)≥80
2．[2024秋·赤峰月考]某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．若不等式－≥1的解都能使不等式3x<2x＋a成立，则a的取值范围是( )
A．a> B．a≥
C．a> D.
4．[2024·南阳期中]已知关于x，y的二元一次方程组若x＋y>3，则m的取值范围是 ．
5．[2024春·平山县月考]如图1，一个容量为200 cm3的杯子中装有50 cm3的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示．
(1)设每颗玻璃球的体积为x cm3，列出x满足的不等式；
(2)已知每放一个玻璃球水面上升10 cm3，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？
第5题图求一元一次不等式的整数解
求满足不等式的整数解时，(1)首先要求出一元一次不等式的解集；(2)在解集范围内确定整数解．
利用不等式求字母系数的取值范围
求不等式或方程中的字母系数的取值范围时，应首先求出相应的解或解集，其次利用解的范围构造含相应字母的不等式，最后解不等式，求出字母的取值范围．
列一元一次不等式解应用题的步骤
审题→设未知数→列不等式→解不等式→检验→写答．
求满足不等式的整数解
典例1 求不等式2(x＋1)－＞的非负整数解．
先求出一元一次不等式的解集，在解集范围内确定整数解．
解：去分母，得12(x＋1)－3(7x－2)＞2(x－2)．
去括号，得12x＋12－21x＋6＞2x－4.
移项，得12x－21x－2x＞－4－12－6.
合并同类项，得－11x＞－22.
化系数为1，得x＜2.
∵x为非负整数，
∴原不等式的非负整数解为0，1.
变式 [2023春·舞钢期中]小红现有18元钱，她想买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本3.6元，她买了2个笔记本，那她还可能买的笔的数量是( D )
A．3支 B．2支
C．1支 D．1支、2支或3支
根据不等式或方程(组)解的情况，求待定系数的取值范围
典例2 [2022·聊城]关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为( A )
A．k≥8 B．k＞8
C．k≤8 D．k＜8
由两式相减，得到x＋y＝k－3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
变式 关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为( D )
A．14 B．7 C．－2 D．2
一元一次不等式的实际应用
典例3 有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球．”试问这个班共有多少位学生？
本题的关键语句是还剩下不足6位同学在操场踢足球，其内涵是踢足球的学生人数小于6.
解：设这个班共有x人．由题意，得
x－(＋＋)＜6，
即x＜6.
∴x＜56.
∵x，，，都是正整数，
∴x为2，4，7的公倍数，
∴x＝28.
答：该班共有28人．
(1)列不等关系解应用题常常以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等字眼来体现问题中的不等关系，建立不等式，故需抓准关键语句挖掘题意中的不等关系．(2)在解集中寻找符合条件的解时，一定要思考周全，保证实际问题有意义．
变式 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
变式图
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器(50－x)个，
根据题意，得540x＋380(50－x)≤21 000，
解得x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
1．[2024春·青山区期中]某校举行知识竞赛， 共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为( D )
A．5x－3(30－x)>80
B．5x－3(30－x)≤80
C．5x－3x≥80
D．5x－3(30－x)≥80
2．[2024秋·赤峰月考]某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有( B )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．若不等式－≥1的解都能使不等式3x<2x＋a成立，则a的取值范围是( A )
A．a> B．a≥
C．a> D.4．[2024·南阳期中]已知关于x，y的二元一次方程组若x＋y>3，则m的取值范围是m>5．
5．[2024春·平山县月考]如图1，一个容量为200 cm3的杯子中装有50 cm3的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示．
(1)设每颗玻璃球的体积为x cm3，列出x满足的不等式；
(2)已知每放一个玻璃球水面上升10 cm3，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？
第5题图
解：(1)由题意，得5x＋50<200；
(2)设可以放m个小球，
由题意，得10m＋50≤200，
解得m≤15，
∴m的最大值为15，
答：使水不溢出杯子，最多能放15个小球．一元一次不等式的概念
不等式的左、右两边都是 ，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ，像这样的不等式叫做一元一次不等式．
一元一次不等式的解法
去分母→去括号→移项→合并同类项→将未知数的系数化为1.
一元一次不等式的定义
典例1 下列式子中，哪些是一元一次不等式？
(1)5x－4＞3； (2)9x＋2＞9x－3；
(3)3x＋1; (4)x2＞－1；
(5)5x＋3y＜2; (6)＋3x＞6.
变式 若3xn－1＞13是一元一次不等式，那么n的值为 .
一元一次不等式的解法
典例2 [2022·宜昌]解不等式≥＋1，并在数轴上表示解集．
典例2图
通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
变式 [2024·呼和浩特]关于x的不等式－1>的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是 ．
1．[2024春·未央区月考]下列不等式中，属于一元一次不等式的是( )
A．x＋y>0 B．3>1
C．7x－16<4 D．3x－1<2x2
2．[2024春·侯马市期末]不等式－3(1－x)<15的正整数解有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．无数个
3．[2024春·卧龙区校级月考]关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为( )
第3题图
A．3 B．2 C．1 D．0
4．[2024·广西]不等式7x＋5<5x＋1的解集为 ．
5．[2024·连云港]解不等式：不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式．
一元一次不等式的解法
去分母→去括号→移项→合并同类项→将未知数的系数化为1.
一元一次不等式的定义
典例1 下列式子中，哪些是一元一次不等式？
(1)5x－4＞3； (2)9x＋2＞9x－3；
(3)3x＋1; (4)x2＞－1；
(5)5x＋3y＜2; (6)＋3x＞6.
根据一元一次不等式的定义来判断：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的次数是1.
解：(1)是一元一次不等式；(2)(3)(4)(5)(6)都不是一元一次不等式．
变式 若3xn－1＞13是一元一次不等式，那么n的值为2.
一元一次不等式的解法
典例2 [2022·宜昌]解不等式≥＋1，并在数轴上表示解集．
典例2图
通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
解：≥＋1，
去分母，得2(x－1)≥3(x－3)＋6，
去括号，得2x－2≥3x－9＋6，
移项，合并同类项得－x≥－1，
系数化为1，得x≤1.
在数轴上表示解集如图：
典例2图
变式 [2024·呼和浩特]关于x的不等式－1>的解集是x>8，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是m≤7．
1．[2024春·未央区月考]下列不等式中，属于一元一次不等式的是( C )
A．x＋y>0 B．3>1
C．7x－16<4 D．3x－1<2x2
2．[2024春·侯马市期末]不等式－3(1－x)<15的正整数解有( A )
A．5个 B．6个
C．7个 D．无数个
3．[2024春·卧龙区校级月考]关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为( B )
第3题图
A．3 B．2 C．1 D．0
4．[2024·广西]不等式7x＋5<5x＋1的解集为x<－2．
5．[2024·连云港]解不等式：解：去分母，得x－1＜2(x＋1)，
去括号，得x－1＜2x＋2，
移项，得x－2x＜2＋1，
合并同类项，得－x＜3，
系数化为1，得x＞－3.
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
第5题图