函数、不等式、方程间的关系
对于一次函数y＝kx＋b，当 时，形成方程kx＋b＝0；当 或 时，形成不等式，即kx＋b＞0或kx＋b＜0.
一元一次不等式与一次函数的关系
1．不等式kx＋b＞0的解集 一次函数y＝kx＋b位于x轴 的图象所对应的自变量的取值范围．
2．不等式kx＋b＜0的解集 一次函数y＝kx＋b位于x轴 的图象所对应的自变量的取值范围．
3．不等式kx＋b＞k1x＋b1的解集 一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1 的图象所对应的自变量的取值范围．
4．不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集 一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1 的图象所对应的自变量的取值范围．
一元一次不等式与一次函数的应用
1．根据题意写出各个函数关系式．
2．分析比较，解出对应的x，y的值．
3．利用方程的解或不等式的解对实际情况作相应的决策．
在实际问题中，未知数(函数的自变量)往往具有隐含条件，如表示个数时，必须是非负整数；表示时间、距离、速度等时，要求都是非负数．解题时，我们要结合实际问题进行取值．
一次函数与一元一次不等式的关系
典例1 已知函数y＝－2x＋4.
(1)画出它的图象；
(2)求出当x＝时，y的值；
(3)求出当y＝2时，x的值；
(4)观察图象回答：当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；
(5)观察图象回答：当x取何值时，y＞2，y＜－2.
解决这些问题的关键是正确地画出函数图象，准确理解图象所表示的信息．
(1)直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即为方程ax＋b＝0的解；
(2)不等式ax＋b＞0的解集就是直线y＝ax＋b与x轴交点上方部分图象自变量x的取值范围．
变式 [2024春·安源区校级月考]如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b>ax－3的解集为 ．
变式图
一次函数与一元一次不等式的应用
典例2 甲、乙两个书店举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折．设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元．
(1)根据题意，填写表格：
在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100
在乙书店购买图书实际支付金额/元 60 85
(2)请直接写出在甲、乙书店购书实际支付金额y1，y2与标价总额x的函数表达式；
(3)若只在一家书店购书，请通过计算说明在哪家购买更实惠．
变式 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当 时，选用个体车较合算( )
变式图
A．x＜1 500 B．x≤1 500
C．x≥1 500 D．x＞1 500
1. [2024秋·赤峰月考]直线y1＝ax与直线y2＝x＋b在同一平面直线坐标系中的图象(如图所示)，关于x的不等式ax>x＋b的解集为( )
第1题图
A．x>－2 B．x<－2
C．x≤－2 D．x≥－2
2．[2024春·道里区月考]如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是 ．
第2题图
3．如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式kx＋b≥0解集为 ．
第3题图
4．一家游泳馆每年6到8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购票每张1元，不凭证购票每张3元．
(1)什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？
(2)什么情况下，购会员证比不购证更合算？
(3)什么情况下，不购会员证比购证更合算？函数、不等式、方程间的关系
对于一次函数y＝kx＋b，当y＝0时，形成方程kx＋b＝0；当y＞0或y＜0时，形成不等式，即kx＋b＞0或kx＋b＜0.
一元一次不等式与一次函数的关系
1．不等式kx＋b＞0的解集 一次函数y＝kx＋b位于x轴上方的图象所对应的自变量的取值范围．
2．不等式kx＋b＜0的解集 一次函数y＝kx＋b位于x轴下方的图象所对应的自变量的取值范围．
3．不等式kx＋b＞k1x＋b1的解集 一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1上方的图象所对应的自变量的取值范围．
4．不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集 一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1下方的图象所对应的自变量的取值范围．
一元一次不等式与一次函数的应用
1．根据题意写出各个函数关系式．
2．分析比较，解出对应的x，y的值．
3．利用方程的解或不等式的解对实际情况作相应的决策．
在实际问题中，未知数(函数的自变量)往往具有隐含条件，如表示个数时，必须是非负整数；表示时间、距离、速度等时，要求都是非负数．解题时，我们要结合实际问题进行取值．
一次函数与一元一次不等式的关系
典例1 已知函数y＝－2x＋4.
(1)画出它的图象；
(2)求出当x＝时，y的值；
(3)求出当y＝2时，x的值；
(4)观察图象回答：当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；
(5)观察图象回答：当x取何值时，y＞2，y＜－2.
解决这些问题的关键是正确地画出函数图象，准确理解图象所表示的信息．
解：(1)列表：
x 0 2
y 4 0
图象如图：
典例1图
(2)当x＝时，y＝－2×＋4＝－1；
(3)当y＝2时，由－2x＋4＝2，得x＝1；
(4)观察图象可知，当x＜2时，函数图象在x轴上方，y＞0；当x＝2时，y＝0；当x＞2时，函数图象在x轴下方，y＜0；
(5)观察图象可知，当x＜1时，y＞2；当x＞3时，y＜－2.
(1)直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即为方程ax＋b＝0的解；
(2)不等式ax＋b＞0的解集就是直线y＝ax＋b与x轴交点上方部分图象自变量x的取值范围．
变式 [2024春·安源区校级月考]如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b>ax－3的解集为x>－2．
变式图
一次函数与一元一次不等式的应用
典例2 甲、乙两个书店举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价7折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分打5折．设要购买图书的标价总额为x元，实际支付金额为y元．
(1)根据题意，填写表格：
在乙书店购买图书标价总额/元 60 80 90 100
在乙书店购买图书实际支付金额/元 60 85
(2)请直接写出在甲、乙书店购书实际支付金额y1，y2与标价总额x的函数表达式；
(3)若只在一家书店购书，请通过计算说明在哪家购买更实惠．
解：(1)当在乙书店购买图书标价总额为80元时，实际支付金额为80元；
当在乙书店购买图书标价总额为100元时，实际支付金额为80＋50%×(100－80)＝90(元)．
故答案为：80，90；
(2)甲书店：y1＝0.7x(x＞0)，
乙书店：当0＜x≤80时，y2＝x，
当x＞80时，y2＝80＋0.5(x－80)＝0.5x＋40；
(3)当0＜x≤80时，y1＜y2，在甲书店购买更实惠，
当x＞80时，y1＝0.7x(x＞0)，y2＝0.5x＋40，
①当y1＜y2时，0.7x＜0.5x＋40，解得x＜200；
②当y1＝y2时，0.7x＝0.5x＋40，解得x＝200；
③当y1＞y2时，0.7x＞0.5x＋40，解得x＞200.
综上所述，当0＜x＜200时，在甲书店购买更实惠；当x＝200时，在甲、乙书店购买的费用一样；当x＞200时，在乙书店购买更实惠．
变式 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当 时，选用个体车较合算( D )
变式图
A．x＜1 500 B．x≤1 500
C．x≥1 500 D．x＞1 500
1. [2024秋·赤峰月考]直线y1＝ax与直线y2＝x＋b在同一平面直线坐标系中的图象(如图所示)，关于x的不等式ax>x＋b的解集为( B )
第1题图
A．x>－2 B．x<－2
C．x≤－2 D．x≥－2
2．[2024春·道里区月考]如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是x<2．
第2题图
3．如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式kx＋b≥0解集为x≥1．
第3题图
4．一家游泳馆每年6到8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购票每张1元，不凭证购票每张3元．
(1)什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？
(2)什么情况下，购会员证比不购证更合算？
(3)什么情况下，不购会员证比购证更合算？
解：设购票x次，则购会员证总费用为(80＋x)元，不购会员证费用为3x元；
(1)80＋x＝3x，
解得x＝40；
∴购票40次，购会员证与不购证付一样的钱；
(2)80＋x<3x，
解得x>40，
∴购票大于40次，购会员证比不购证更合算；
(3)80＋x>3x，
解得x<40，
∴购票小于40次，不购会员证比购证更合算．
