用一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤
1．审题，找出不等关系．
2．设未知数．
3．列出一元一次不等式组．
4．解一元一次不等式组．
5．从不等式的解集中求出符合题意的答案．
6．写答．
审题时，需抓住表示不等关系的关键词——“大于”“小于”“少”“不少于”“超过”“不超过”“最多”“最大”等等，努力寻找能体现全题的不等关系．
一元一次不等式组的应用
典例1 [2024·东城期末]为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3 550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球11个．
解析：设学校购买篮球x个，购买足球(20－x)个，
根据题意，得
解得10＜x≤11，
∵x是整数，
∴x＝11.
设学校购买篮球x个，购买足球(20－x)个，根据“学校计划用不超过3 550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球的数量”列出不等式组，求解即可．
变式 [2024·济宁期末]为培养学生阅读习惯，提高学生阅读兴趣和能力，某校把一批图书分给七年级(1)班学生去阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本(但至少分得1本)．设七年级(1)班有x名学生，则下列四个结论中，正确的是①④．(填序号)
①这批图书有(2x＋48)本
②这批图书有3(x＋1)本
③七年级(1)班最少有44名学生
④七年级(1)班最多有50名学生
利用一元一次不等式组设计方案
典例2 [2024·牡丹江节选]牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱，干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱，干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
(2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可．
解：(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则
解得
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
(2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80－m)箱，则
解得40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱．
变式 [2024春·栖霞市期末]“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益，为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解， 20本文学名著和40本动漫书共需1 600元， 20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．
解：(1)设每本文学名著x元，每本动漫书y元，根据题意可得
解得
答：每本文学名著和动漫书各为40元和20元；
(2)设学校要求购买文学名著m本，动漫书为(m＋20)本，根据题意可得
解得25≤m≤26，
因为m取整数，
所以m取25，26；
方案一：文学名著25本，动漫书45本；
方案二：文学名著26本，动漫书46本．
1．[2024春·龙沙区期末]运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>94”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，则x的取值范围是10第1题图
2．[2023春·宣化区期末]有若干辆载重8吨的车运一批货物，每辆车装载5吨，则剩下10吨货物；每辆车装载8吨，则最后一辆不满也不空，求货物有多少吨？
解：设有x辆汽车，
根据题意得
解得∵x为正整数，
∴x＝4或5.
当x＝4时，5x＋10＝4×5＋10＝30(吨)；
当x＝5时，5x＋10＝5×5＋10＝35(吨)．
答：货物有30吨或35吨．
3．[2023·大理期末]某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元．
(1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；
(2)某公司向该店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？
解：(1)设每辆甲型汽车的售价为a万元，每辆乙型汽车的售价为b万元，根据题意，得
解得
答：每辆甲型汽车的售价为26万元，每辆乙型汽车的售价为18万元；
(2)设购买甲型汽车x辆，则购买乙型汽车(6－x)辆，根据题意，得
解得2≤x≤4，
∵x为正整数，
∴x取3，4，
∴购买甲型汽车3辆，购买乙型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买乙型汽车2辆．用一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤
1．审题，找出不等关系．
2．设未知数．
3．列出一元一次不等式组．
4．解一元一次不等式组．
5．从不等式的解集中求出符合题意的答案．
6．写答．
审题时，需抓住表示不等关系的关键词——“大于”“小于”“少”“不少于”“超过”“不超过”“最多”“最大”等等，努力寻找能体现全题的不等关系．
一元一次不等式组的应用
典例1 [2024·东城期末]为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3 550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 个．
变式 [2024·济宁期末]为培养学生阅读习惯，提高学生阅读兴趣和能力，某校把一批图书分给七年级(1)班学生去阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本(但至少分得1本)．设七年级(1)班有x名学生，则下列四个结论中，正确的是 ．(填序号)
①这批图书有(2x＋48)本
②这批图书有3(x＋1)本
③七年级(1)班最少有44名学生
④七年级(1)班最多有50名学生
利用一元一次不等式组设计方案
典例2 [2024·牡丹江节选]牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
变式 [2024春·栖霞市期末]“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益，为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解， 20本文学名著和40本动漫书共需1 600元， 20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．
1．[2024春·龙沙区期末]运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>94”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，则x的取值范围是 .
第1题图
2．[2023春·宣化区期末]有若干辆载重8吨的车运一批货物，每辆车装载5吨，则剩下10吨货物；每辆车装载8吨，则最后一辆不满也不空，求货物有多少吨？
3．[2023·大理期末]某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元．
(1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；
(2)某公司向该店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？一元一次不等式组的相关概念
1．一般的，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
3．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
一元一次不等式组的解法
1．求出不等式组中各个不等式的解集．
2．求出它们的公共部分，也可以利用数轴直观地求出不等式组的解集．
不等式组的解集
不等式组 不等式组的解集 用数轴表示解集 口诀
(a＞b) x＞a 同大取大
(a＞b) x＜b 同小取小
(a＞b) b＜x＜a 大小小大中间找
(a＞b) 无解 大大小小解不了
一元一次不等式组的解法
典例1 [2024·淄博]解不等式组：并求所有整数解的和．
解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
解：
解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x>－4，
∴原不等式组的解集－4∴不等式组所有整数解的和为－3－2－1＋0＝－6.
变式 [2024·浙江]不等式组的解集在数轴上表示为( A )
根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围
典例2 已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组有四个整数解，即可确定出a的范围．
解：解不等式组
解不等式①，得x＞－，
解不等式②，得x≤a＋4.
因为不等式组有四个整数解，结合x＞－，这四个整数只能是－2，－1，0，1.
如图：
典例2图
所以1≤a＋4＜2.解得－3≤a＜－2.
在确定a＋4的范围的时候，画数轴能够极大地帮助思考，简化思维过程．
变式 (1)已知不等式组有3个整数解，那么这三个整数解只能是3，4，5，所以a的取值范围是5≤a＜6；
(2)若把上题中的x≤a改成x＜a，其他不变，那么a的取值范围是5＜a≤6；
(3)若把(1)的x＞2改成x≥2，其他不变，那么a的取值范围是4≤a＜5．
一元一次不等式组的综合题
典例3 m取怎样的数值时，方程组的解中x与y为异号两数？
方程组的解可以用含m的代数式表示．求出方程组解后，再列出不等式(组)即可．
解：
①＋②，得2x＝4m－2，x＝2m－1.
②－①，得2y＝2m＋6，y＝m＋3.
∵x与y异号，
∴列出不等式组(A)或(B)
不等式组(A)无解．
解(B)得
∴－3＜m＜时，方程组的解x与y两数异号．
变式 [扬州中考]已知关于x，y的方程组 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
解：
①×3，得15x＋6y＝33a＋54， ③
②×2，得4x－6y＝24a－16, ④
③＋④，得19x＝57a＋38，
解得x＝3a＋2.
把x＝3a＋2代入①，得
5(3a＋2)＋2y＝11a＋18，
解得y＝－2a＋4.
∴方程组的解是
∵x＞0，y＞0，
∴解得
∴－＜a＜2.
1．[2024·遂宁]不等式组的解集在数轴上表示为( B )
2．[2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是( B )
A．m＞2 B．m≥2
C．m＜2 D．m≤2
3．如果不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是－1≤m<－．
解析：∵不等式组的整数解共有3个，
∴关于不等式组的解集是－2则3个整数解是－1，0，1.
故m的范围是1≤2m＋3<2，
解得－1≤m<－.
4．解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
解：
解不等式①，得x≥－；
解不等式②，得x＜，
所以不等式组的解集为－≤x＜.
把不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
第4题图
所以它的整数解为－2，－1，0.
5．[2024·榆林开学]已知关于x的不等式组的解集为－1解：
解不等式①得x>2＋a，
解不等式②得x∴不等式组的解集为2＋a∵不等式组的解集为－1∴2＋a＝－1，b－1＝1，解得a＝－3，b＝2，
∴a＋b＝－1.一元一次不等式组的相关概念
1．一般的，关于同一未知数的几个 合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 叫做这个一元一次不等式组的解集．
3．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
一元一次不等式组的解法
1．求出不等式组中 的解集．
2．求出它们的 ，也可以利用数轴直观地求出不等式组的解集．
不等式组的解集
不等式组 不等式组的解集 用数轴表示解集 口诀
(a＞b) x＞a 同大取大
(a＞b) x＜b 同小取小
(a＞b) b＜x＜a 大小小大中间找
(a＞b) 无解 大大小小解不了
一元一次不等式组的解法
典例1 [2024·淄博]解不等式组：并求所有整数解的和．
变式 [2024·浙江]不等式组的解集在数轴上表示为( )
根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围
典例2 已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
在确定a＋4的范围的时候，画数轴能够极大地帮助思考，简化思维过程．
变式 (1)已知不等式组有3个整数解，那么这三个整数解只能是 ，所以a的取值范围是 ；
(2)若把上题中的x≤a改成x＜a，其他不变，那么a的取值范围是 ；
(3)若把(1)的x＞2改成x≥2，其他不变，那么a的取值范围是 ．
一元一次不等式组的综合题
典例3 m取怎样的数值时，方程组的解中x与y为异号两数？
方程组的解可以用含m的代数式表示．求出方程组解后，再列出不等式(组)即可．
变式 [扬州中考]已知关于x，y的方程组 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
1．[2024·遂宁]不等式组的解集在数轴上表示为( )
2．[2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m≥2
C．m＜2 D．m≤2
3．如果不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ．
4．解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
5．[2024·榆林开学]已知关于x的不等式组的解集为－1
