有关全等三角形的基本事实
1． 的两个三角形全等(SAS)．
2． 的两个三角形全等(ASA)．
3． 的两个三角形全等(SSS)．
全等三角形的判定定理
的两个三角形全等(AAS)．
要证两个三角形全等，各组条件中至少有一个是边相等，要善于把间接条件化为直接条件，来判定三角形全等．
三角形全等的判定
典例 如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
典例图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
变式 如图，∠1＝∠2, AC＝AD，有下列条件：①AB＝AE ②BC＝ED ③∠C＝∠D.增加其中一个，能使△ABC≌△AED的条件有( )
变式图
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
1. 如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就可得△ABC≌△DEF.下列条件中不符合要求的是( )
第1题图
A．BC＝EF B．AC＝DF
C．∠D＝∠A D．AB∥DE
2. [2024春·碑林区期中]工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是( )
第2题图
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．[2024·德州]如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE.
第3题图
4．如图，已知四边形ABCD中， AB＝12厘米， BC＝8厘米， CD＝13厘米，
∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时， 能够使△BPE与△CQP全等．
第4题图
5．[2024·乐山]如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D.全等三角形的性质
1．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．全等三角形对应边上的高线、中线相等，对应角的角平分线相等．
证明两线或两角相等的思路
要证明两条线段(或两个角)相等，可以通过证明这两条线段(或两个角)所在的两个三角形全等来得到．
全等三角形的性质与判定综合
典例 [2023·陕西]如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝CB.
利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
典例图
证明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°，
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB，
在△DAF和△CAB中，
∴△DAF≌△CAB(SAS)，
∴DF＝CB.
变式 [2023·营口]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
变式图
解：(1)证明：在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF(AAS)；
(2)由(1)知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB－AC－BD＝4，故CD的长为4.
1．[2024·济南]如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为( C )
第1题图
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B＝90°， AB＝DE, AD＝CF，BC＝EF，则∠E＝( A )
第2题图
A．90° B．45° C．50° D．40°
3．[2024秋·梁溪区校级月考]如图， AB＝AC，∠B＝∠C，点D，E分别在AC，AB上， BD，CE相交于点O，则图中与OB相等的线段为OC．
第3题图
4．如图，点F, C在BE上，AC＝DF, BF＝EC, AB＝DE, AC与DF相交于点G，若∠AGF＝150°，则∠ACB的度数为75°.
第4题图
5．[2024·镇江]如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °.
第5题图
解：(1)证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
(2)∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°－70°＝20°，
由(1)知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20.全等三角形的性质
1．全等三角形的对应边 ，对应角 ．
2．全等三角形对应边上的 、 相等，对应角的 相等．
证明两线或两角相等的思路
要证明两条线段(或两个角)相等，可以通过证明这两条线段(或两个角)所在的两个三角形 来得到．
全等三角形的性质与判定综合
典例 [2023·陕西]如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝CB.
变式 [2023·营口]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
变式图
1．[2024·济南]如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为( )
第1题图
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B＝90°， AB＝DE, AD＝CF，BC＝EF，则∠E＝( )
第2题图
A．90° B．45° C．50° D．40°
3．[2024秋·梁溪区校级月考]如图， AB＝AC，∠B＝∠C，点D，E分别在AC，AB上， BD，CE相交于点O，则图中与OB相等的线段为 ．
第3题图
4．如图，点F, C在BE上，AC＝DF, BF＝EC, AB＝DE, AC与DF相交于点G，若∠AGF＝150°，则∠ACB的度数为 .
第4题图
5．[2024·镇江]如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °.
第5题图有关全等三角形的基本事实
1．有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)．
2．有两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)．
3．有三条边对应相等的两个三角形全等(SSS)．
全等三角形的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)．
要证两个三角形全等，各组条件中至少有一个是边相等，要善于把间接条件化为直接条件，来判定三角形全等．
三角形全等的判定
典例 如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
典例图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
(1)由BF＝EC可得到BC＝EF，又已知AB＝DE，AC＝DF，根据“SSS”可证得△ABC≌△DEF；
(2)由△ABC≌△DEF可得到∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”可证得线段平行．
解：(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)；
(2)AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
变式 如图，∠1＝∠2, AC＝AD，有下列条件：①AB＝AE ②BC＝ED ③∠C＝∠D.增加其中一个，能使△ABC≌△AED的条件有( C )
变式图
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
1. 如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就可得△ABC≌△DEF.下列条件中不符合要求的是( B )
第1题图
A．BC＝EF B．AC＝DF
C．∠D＝∠A D．AB∥DE
2. [2024春·碑林区期中]工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是( A )
第2题图
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．[2024·德州]如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件AD＝CE或∠ACD＝∠B(答案不唯一)，使△ACD≌△CBE.
第3题图
4．如图，已知四边形ABCD中， AB＝12厘米， BC＝8厘米， CD＝13厘米，
∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为2或3厘米/秒时， 能够使△BPE与△CQP全等．
第4题图
5．[2024·乐山]如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D.
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
第5题图
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴∠C＝∠D.
