等腰三角形的性质—— 等边对等角
等腰三角形
的两个底角相等．(简称：等边对等角)
符号语言：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
等腰三角形的性质——“三线合一”等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
符号语言：如图，
(1)∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC，BD＝CD．
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠1＝∠2．
(3)∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，BD＝CD.
此推论也称为“三线合一”定理．在应用时，需注意必须是等腰三角形为已知．
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称：等角对等边)
符号语言：如图，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
相关结论
1．等腰三角形两底角的平分线相等；
2．等腰三角形两腰上的中线、高线相等；
3．等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．
(1)当只知道等腰三角形的一个内角时，需分类讨论该角是底角还是顶角，要注意的是顶角可能是锐角、直角或者钝角，但底角只能是锐角；(2)“等角对等边”只限于同一个三角形中，若两个三角形中两个角相等，则它们所对的边不一定相等．
等腰三角形的性质—— 等边对等角
典例1 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数．
典例1图
把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程的思想解决，列方程的依据是三角形内角和定理．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
同理，∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
设∠B＝α，则∠C＝α，∠BAD＝α，
∴∠CDA＝2α，∠CAD＝2α，
在△ADC中，
∵∠C＋∠CAD＋∠CDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，
即∠B＝36°.
变式 [2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( B )
变式图
A．100° B．115° C．130° D．145°
等腰三角形的性质——“三线合一”
典例2 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点．
典例2图
求证：AF⊥CD.
连接AC，AD，可证△ABC≌△AED，进而可得AC＝AD，利用等腰三角形三线合一，可得结论．
证明：连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
典例2图
∴△ABC≌△AED(SAS)．
∴AC＝AD.
∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD.
等腰三角形“三线合一”定理是证明垂直、两线段相等、两角相等的重要方法，要能灵活运用．
变式图
变式 [2023春·河源期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠C＝55°，则∠BAD的度数为35°．
等腰三角形的判定
典例3 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
典例3图
求证：△BDE是等腰三角形．
由平分线的性质得∠1＝∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B＝∠BDE，即可得出答案．
证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3.
∵AD⊥BD，
∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
变式 如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( D )
第2题图
A．AE＝AD B．BD＝CE
C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB
1．[2024·湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为100°.
2．[2024·镇江]等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为6．
3．[2024·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为2．
第3题图
4．[2023秋·明水县期末]如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动) ，∠O＝30°，当∠A＝30°或75°或120°时，△AOP为等腰三角形．
第4题图
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.
求证：BD＝CE.
第5题图
证明：过点A作AF⊥BC于F.
第5题图
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE.等边三角形的性质
等边三角形的三个角都相等，
并且每个角都等于 .
符号语言：如图，
∵AB＝AC＝BC，
∴ ＝ ＝ ＝
等边三角形的判定
1．有 等腰三角形是等边三角形．
符号语言：如图，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
(∠A＝60°或∠C＝60°)
∴△ABC是等边三角形．
2． 三角形是等边三角形．
符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
含30 °角的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果 ，那么它所对的直角边等于 ．
符号语言：如图，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB.
反证法
1．定义：先假设命题的 ，然后推导出与 相矛盾的结果，从而证明 ．这种证明方法叫做 ．
2．证明步骤：
(1)反设：假设结论的反面成立；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
等边三角形的判定
典例1 如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC.
典例1图
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝60°，D，E分别是边AB，BC上两点，且DE∥AC，下列结论不正确的是( )
变式图
A．∠A＝60°
B．△BDE是等腰三角形
C．BD≠DE
D．△BDE是等边三角形
含30 °角的直角三角形的性质
典例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E在BC上，且AE＝EC，若∠C＝15°，EC＝8，则△AEC的面积为( )
典例2图
A．32 B．16 C．64 D．128
变式 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E.如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于( )
变式图
A．5 B．4 C．3 D．2
反证法
典例3 在一个三角形中，若两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．
典例3图
已知：如图，在△ABC中，
AB≠AC.
求证：∠B≠∠C.
变式 [2023春·南明区期中]用反证法 一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中 ．
1. [2024·泾川县模拟]如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上， AE＝AD，则∠EDC等于( )
第1题图
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．[2024·西双版纳一模]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于( )
第2题图
A．4 B．5 C．6 D．8
3．[2024春·金溪县期中]命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与 矛盾( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D．垂直的定义
4．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)求证：AE＝AB.
第4题图等腰三角形的性质—— 等边对等角
等腰三角形
的 相等．(简称：等边对等角)
符号语言：
∵AB＝AC，
∴ ．
等腰三角形的性质——“三线合一”等腰三角形
的平分线、 的中线、 的高互相重合．
符号语言：如图，
(1)∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC， ．
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC， ．
(3)∵AB＝AC， ，
∴∠1＝∠2，BD＝CD.
此推论也称为“三线合一”定理．在应用时，需注意必须是等腰三角形为已知．
等腰三角形的判定定理
是等腰三角形．(简称：等角对等边)
符号语言：如图，
∵ ，
∴AB＝AC.
相关结论
1．等腰三角形两底角的平分线相等；
2．等腰三角形两腰上的中线、高线相等；
3．等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．
(1)当只知道等腰三角形的一个内角时，需分类讨论该角是底角还是顶角，要注意的是顶角可能是锐角、直角或者钝角，但底角只能是锐角；(2)“等角对等边”只限于同一个三角形中，若两个三角形中两个角相等，则它们所对的边不一定相等．
等腰三角形的性质—— 等边对等角
典例1 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数．
典例1图
变式 [2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
变式图
A．100° B．115° C．130° D．145°
等腰三角形的性质——“三线合一”
典例2 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点．
典例2图
求证：AF⊥CD.
等腰三角形“三线合一”定理是证明垂直、两线段相等、两角相等的重要方法，要能灵活运用．
变式图
变式 [2023春·河源期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠C＝55°，则∠BAD的度数为 ．
等腰三角形的判定
典例3 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
典例3图
求证：△BDE是等腰三角形．
变式 如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
第2题图
A．AE＝AD B．BD＝CE
C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB
1．[2024·湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
2．[2024·镇江]等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
3．[2024·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为 ．
第3题图
4．[2023秋·明水县期末]如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动) ，∠O＝30°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
第4题图
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.
求证：BD＝CE.
第5题图等边三角形的性质
等边三角形的三个角都相等，
并且每个角都等于60°.
符号语言：如图，
∵AB＝AC＝BC，
∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°
等边三角形的判定
1．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：如图，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
(∠A＝60°或∠C＝60°)
∴△ABC是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
含30 °角的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
符号语言：如图，
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB.
反证法
1．定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法叫做反证法．
2．证明步骤：
(1)反设：假设结论的反面成立；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
等边三角形的判定
典例1 如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC.
典例1图
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
(1)由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由“SAS”证明△ADC≌△BEC即可；(2)由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC(SAS)；
(2)△DCE是等边三角形．理由：
∵△ADC≌△BEC，
∴DC＝EC，
∴△DCE是等腰三角形，
又∵∠BCE＝∠ACD＝60°，
∴△DCE是等边三角形．
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝60°，D，E分别是边AB，BC上两点，且DE∥AC，下列结论不正确的是( C )
变式图
A．∠A＝60°
B．△BDE是等腰三角形
C．BD≠DE
D．△BDE是等边三角形
含30 °角的直角三角形的性质
典例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E在BC上，且AE＝EC，若∠C＝15°，EC＝8，则△AEC的面积为( B )
典例2图
A．32 B．16 C．64 D．128
由AE＝EC，可知∠EAC＝∠C＝15°，则∠AEB＝30°， 所以在Rt△ABE中，AB＝AE＝EC＝4，则由△AEC的面积为CE·AB可知结果．
变式 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E.如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于( B )
变式图
A．5 B．4 C．3 D．2
反证法
典例3 在一个三角形中，若两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．
典例3图
已知：如图，在△ABC中，
AB≠AC.
求证：∠B≠∠C.
本题是一道否定性命题，直接证明难以入手，不妨用反证法证明．
证明：假设∠B＝∠C，那么AB＝AC，与已知AB≠AC矛盾，故假设错误．即原命题结论∠B≠∠C成立．
变式 [2023春·南明区期中]用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中至多有一个角是锐角．
1. [2024·泾川县模拟]如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上， AE＝AD，则∠EDC等于( A )
第1题图
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．[2024·西双版纳一模]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于( C )
第2题图
A．4 B．5 C．6 D．8
3．[2024春·金溪县期中]命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与 矛盾( B )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D．垂直的定义
4．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)求证：AE＝AB.
第4题图
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°
∴△ADE是等边三角形；
(2)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ADB＝90°，
∴AD＝AC.
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD.
∴AE＝AB.
