勾股定理
直角三角形 等于 ．
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的 等于 ，那么这个三角形是直角三角形．
符号语言：如图，在△ABC中，
∵ ，
∴△ABC是直角三角形．
互逆命题与互逆定理
1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 分别是另一个命题的 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．例如，原命题：两直线平行，同位角相等；逆命题：同位角相等，两直线平行．
2．互逆定理：如果一个定理的 经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫做 ，其中一个叫做另一个的逆定理．
(1)任何一个命题均有逆命题．(2)原命题是真命题时，逆命题不一定是真命题．(3)不是所有的定理都有逆定理．
勾股定理
典例1 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的)
典例1图
变式 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5 B. C. D．5或
勾股定理的逆定理
典例2 △ABC的各边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2.
求证：△ABC是直角三角形．
在运用勾股定理逆定理判断三角形形状时，可以根据条件找出最长边．
变式 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝13，CD＝12.
求证：∠ACD＝90°.
变式图
互逆命题
典例3 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)对顶角相等．
1．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞( )
第1题图
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
2．下列结论错误的是( )
A．三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形
B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形
D．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形
3．[2024·石家庄期中]下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．若a＝2，则a3＝8
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．钝角三角形中有两个锐角
D．如果两个角是直角，那么它们相等
4．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm2，10 cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 cm2.
第4题图
5．[2024春·巩义市期末]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2, BC＝4，则AB2＋CD2＝ ．
第5题图“HL”定理
定理： 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
“HL”只适合直角三角形，不适合一般的三角形，判定两个直角三角形全等，也可以用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”．
用“HL”定理证明两个直角三角形全等
典例 [镇江中考]如图，AD, BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
(1)求证： △ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC ＝35°，则∠CAO＝ ．
典例图
在使用“HL”证明两直角三角形全等时，一定要说明是直角三角形．本题易忽视指出△ACB和△BDA为直角三角形，而直接用HL证明．
变式 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝ 时，才能使△ABC≌△QPA.
变式图
1．[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( )
第1题图
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2．[2024春·临渭区期末]如图，CD⊥AB, BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( )
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，∠C＝90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC＝MD，如果AC＝8，AB＝10，那么BD的长度为( )
第3题图
A．8 B．2 C．10 D．6
4．[2024春·肃州区期中]如图， AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE.若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为 ．
第4题图
5．[2024·阜阳期中]如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：DE＝DF；
(2)已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
第5题图“HL”定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
“HL”只适合直角三角形，不适合一般的三角形，判定两个直角三角形全等，也可以用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”．
用“HL”定理证明两个直角三角形全等
典例 [镇江中考]如图，AD, BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
(1)求证： △ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC ＝35°，则∠CAO＝ ．
典例图
由HL易证(1)；由(1)得∠BAD＝∠ABC＝35°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－35°＝55°，所以∠CAO＝55°－35°＝20°.
解：(1)证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)；
(2)∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
在Rt△ABC中，
∠BAC＝90°－∠ABC
＝90°－35°
＝55°，
∴∠CAO＝55°－35°＝20°.
故答案为：20°.
在使用“HL”证明两直角三角形全等时，一定要说明是直角三角形．本题易忽视指出△ACB和△BDA为直角三角形，而直接用HL证明．
变式 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝BC时，才能使△ABC≌△QPA.
变式图
1．[2024春·浑南区期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( D )
第1题图
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2．[2024春·临渭区期末]如图，CD⊥AB, BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( C )
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，∠C＝90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC＝MD，如果AC＝8，AB＝10，那么BD的长度为( B )
第3题图
A．8 B．2 C．10 D．6
4．[2024春·肃州区期中]如图， AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE.若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为AB＝CD(答案不唯一)．
第4题图
5．[2024·阜阳期中]如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：DE＝DF；
(2)已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
第5题图
解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE＝DF；
(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE＝AF，CF＝BE＝4，
∵AC＝20，
∴AE＝AF＝20－4＝16，
∴AB＝AE－BE＝16－4＝12.勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
符号语言：如图，在△ABC中，
∵a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
互逆命题与互逆定理
1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．例如，原命题：两直线平行，同位角相等；逆命题：同位角相等，两直线平行．
2．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．
(1)任何一个命题均有逆命题．(2)原命题是真命题时，逆命题不一定是真命题．(3)不是所有的定理都有逆定理．
勾股定理
典例1 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的)
典例1图
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB－AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝15(米)，
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17－1×7＝10(米)，
∴AD＝＝＝6(米)，
∴BD＝AB－AD＝15－6＝9(米)．
答：船向岸边移动了9米．
变式 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )
A．5 B. C. D．5或
勾股定理的逆定理
典例2 △ABC的各边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2.
求证：△ABC是直角三角形．
只需证明最长边的平方等于另两边的平方和即可．
证明：∵(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，
(m2－n2)2＋(2mn)2
＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2
＝m4＋2m2n2＋n4，
∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
即a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
在运用勾股定理逆定理判断三角形形状时，可以根据条件找出最长边．
变式 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝13，CD＝12.
求证：∠ACD＝90°.
变式图
证明：在Rt△ABC中，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴32＋42＝AC2.
∴AC＝5.
在△ACD中，
∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，
AD2＝132＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD是直角．
∴∠ACD＝90°
互逆命题
典例3 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)对顶角相等．
要写出一个命题的逆命题，首先要弄清原命题的条件和结论，然后把结论与条件对调，同时注意语句要通顺．
解：(1)逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．这是一个真命题；
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这是一个假命题．
变式 写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)四条边相等的四边形是正方形．
解：(1)面积相等的三角形全等．假命题． (2)正方形的四条边相等．真命题．
1．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞( C )
第1题图
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
2．下列结论错误的是( D )
A．三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形
B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形
D．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形
3．[2024·石家庄期中]下列命题的逆命题是真命题的是( A )
A．若a＝2，则a3＝8
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．钝角三角形中有两个锐角
D．如果两个角是直角，那么它们相等
4．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm2，10 cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2πcm2.
第4题图
5．[2024春·巩义市期末]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2, BC＝4，则AB2＋CD2＝20．
第5题图
