线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到 ．
符号语言：如图，
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ ．
线段垂直平分线的逆定理
在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：如图，
∵MA＝MB，
∴点M在线段AB的垂直平分线上．
尺规作图
作一条线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质
典例1 [2022·淄博]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D，点E.若CD＝3，则BD的长为( )
典例1图
A．4 B．5 C．6 D．7
连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD＝CD＝3，
∠DAC＝∠C＝30°，求得∠BAD＝90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
变式 [2023·丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是 ．
变式图
线段垂直平分线的逆定理
典例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是直线AE上的一点，且∠DBC＝∠DCB. 试探究直线AD和线段BC的关系，并证明．
典例2图
变式 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.
求证：点E在AF的垂直平分线上．
变式图
1．[2024春·丰顺县期末]如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在( )
第1题图
A．AC的垂直平分线上
B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点
D．AB的垂直平分线上
2．[2024春·龙岗区期末]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是( )
第2题图
A．8 B．10 C．12 D．14
3．[2024·哈尔滨期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝3，则BC＝ ．
第3题图
4．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为16 cm，则BD的长为 ．
第4题图
5．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝42°，则∠AOC＝ °.
第5题图三角形三边垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的外部．
尺规作图
作满足条件的等腰三角形．
三角形三边垂直平分线的性质
典例 如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( C )
典例图
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．
变式 [2022·百色]如图是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是( A )
变式图
A．∠B＝45°
B．AE＝EB
C．AC＝BC
D．AB⊥CD
1. [2024春·二七区期末]如图，三个村庄A，B，C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在( A )
第1题图
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
2．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有1处．
第2题图
3．(模型观念)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村，B村，C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
第3题图
解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．
求作：一点P，使PA＝PB＝PC.
第3题图三角形三边垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到 ．
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的外部．
尺规作图
作满足条件的等腰三角形．
三角形三边垂直平分线的性质
典例 如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
典例图
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
变式 [2022·百色]如图是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是( )
变式图
A．∠B＝45°
B．AE＝EB
C．AC＝BC
D．AB⊥CD
1. [2024春·二七区期末]如图，三个村庄A，B，C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在( )
第1题图
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
2．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有 处．
第2题图
3．(模型观念)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村，B村，C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
第3题图线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：如图，
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB．
线段垂直平分线的逆定理
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：如图，
∵MA＝MB，
∴点M在线段AB的垂直平分线上．
尺规作图
作一条线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质
典例1 [2022·淄博]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°.分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D，点E.若CD＝3，则BD的长为( C )
典例1图
A．4 B．5 C．6 D．7
连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD＝CD＝3，
∠DAC＝∠C＝30°，求得∠BAD＝90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
变式 [2023·丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．
变式图
线段垂直平分线的逆定理
典例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是直线AE上的一点，且∠DBC＝∠DCB. 试探究直线AD和线段BC的关系，并证明．
典例2图
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的逆定理即可得出结论．
解：AD是线段BC的垂直平分线，理由：
∵AB＝AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上．
∵∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC.
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴AD是线段BC的垂直平分线．
变式 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.
求证：点E在AF的垂直平分线上．
变式图
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED.
∴∠B＝∠D.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠2＝90°－∠D.
∴∠2＝∠A.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A.
∴EF＝EA.
∴点E在AF的垂直平分线上．
1．[2024春·丰顺县期末]如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在( A )
第1题图
A．AC的垂直平分线上
B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点
D．AB的垂直平分线上
2．[2024春·龙岗区期末]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是( A )
第2题图
A．8 B．10 C．12 D．14
3．[2024·哈尔滨期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝3，则BC＝．
第3题图
4．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为16 cm，则BD的长为5 cm．
第4题图
5．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝42°，则∠AOC＝84°.
第5题图
